İlk olarak 2. bölümden zamanın doğrusal bağımsız fonksiyonu tanımını hatırlayınız ve f.T(f) Cm olduğunda özellikle kompleks-değerli fonksiyonlarını f: (t),;=…n, farzedin. F:=1,….,n. şeklinde bir grup fonksiyonun komplex sayılar alanının üstünde [t1,t2] bir zaman aralığında lineer bağımsız olduğunu hatırlayınız. ( Kompleks sayılar a:, i=1,….,n sıfır dışında şöyle ki a,f1(t)+…+anf n(t)=0 bütün t ler [t1,t2] aralığında koşulunda) aksi durumda fonksiyon grupları komplex sayılar alanında [t1,t2] de lineer bağımsız olarak adlandırılır.
Lineer bağımsızlığı, fonksiyonların (fi) Gram matrisini kullanarak test etmek mümkündür.
LEMMA 2.7. F(t) Cnxm`,in fi(t) Clxm`in i`nci sırasındaki bir matris olarak ele alır. fi(t),i=1,….,n Gram matrisini
ile tanımlayın.
(.)* kompleks transpoze birleşimini belirtir. fi(t),i=1,….,n ancak şu koşullarda [t1,t2] de kompleks sayılar alanında lineer bağımsızdır: sadece ve sadece W(t1,t2) Gram matrisi tekil olmayacak yada eş değer olacak. Sadece ve sadece Gram determinantı
det W(t1,t2)≠0.
İspat. fi, i=1,….,n setini lineer bağımsız olduğunu ancak W(t1,t2)`nin tekil olduğunu varsayın bu durumda şöyle bir durum ortaya çıkar. Sıfır dışında α C1xn böylece α W(t1,t2)=0
dan ortaya çıkar.(αF(t))(αF(t))*≥0 (bütün t`ler için) olduğundan bu [t1,t2] `deki bütün t `ler için α F(t)=0 olduğunu ortaya koyar ki bu bir çelişkidir. Bunun için W(t1,t2) nonsingular(tekil olmayan) dır. Devamını Oku…