KÜMELER
A=a,b,c s(A)=3
Alfabenin ilk 3 harfi
Boş Küme: Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
veya şeklinde gösterilir.
SNZQ QI=R
Sonlu Küme: Elemanları sayılabilen kümelerdir.
Sonsuz Küme: Elemanları sayılamayan kümelerdir.
Alt Küme:Bir A kümesinin her bir elemanı bir B kümesinin de elemanı ise A, B’ nin alt kümesidir.
A B B kapsar A
A, B’ nin alt kümesidir.
Kapsar
Alt Küme Sayısı: n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n’ dir.
Özalt Küme: Bir A kümesinin alt kümelerinden kendisinin çıkarılmasıyla oluşan kümelere denir.
n elemanlı bir kümenin özalt kümelerinin sayısı 2n –1’ dir.
ALT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ
1. Bir A kümesi için A’ dır. Boş küme her kümenin alt kümesidir.
2. Bir A kümesi için A A’ dır Her küme kendisinin alt kümesidir.
3. A B ve B A A = B
4. A B ve B C A C
,
Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılabilen kümeleri kapsayan kümeye denir. “ E ” harfi ile gösterilir.
Tümleme: Bir E evrensel kümesi verilsin. E içinde bir A kümesi olsun. E’ nin içinde olup
A’ nın dışında kalan elemanların kümesine A’ nın tümleyeni denir ve A ile gösterilir.
E
A
s(A) + s(A) = s(E)
TÜMLEMENİN ÖZELLİKLERİ
1- ( A ) = A 5. AE = E
2- E = 6. AA =
3- = E 7. AA = E
4- AE = A 8. AB BA
Denk Küme: Eleman sayıları aynı olan kümelere denk küme denir.
Eşit Küme: Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir.
Ayrık Küme: Ortak elemanı olmayan kümelere denir.
BİRLEŞİM İŞLEMİ
İki kümenin birleşim işlemi bütün elemanların bir küme içinde belirtilmesi ile oluşur. Aynı elemanlar iki kere tekrarlanmaz.
ÖZELLİKLER
1- A A = A (Tek kuvvet özelliği)
2- A B = B A ( Değişme özelliği)
3- A ( B C) = ( A B ) C (Birleşme özelliği)
4- A = A = A (Etkisiz eleman )
5- A B A B = B’ dir
6- A B = A = ve B =
7- A ile B ayrık kümeler ise s( A B ) = s( A ) + s( B )
8- A ile B ayrık kümeler değil ise s( A B ) = s( A ) + s( B ) – s( A B )
KESİŞİM İŞLEMİ
İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.
ÖZELLİKLER
1-)A∩A=A
2-)A∩B=B∩A
3-)A∩(B∩C)=(A∩C)∩C
4-)A∩ø=ø∩A=ø (YUTAN ELEMAN ø DİR)
5-)ABA∩B=A
6-)A∩B =øA=ø VEYA B=ø VEYA A İLE B AYRIKTIR.
DAĞILMA ÖZELLİĞİ
1-)A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
***(A∩B)U(A∩B’)=A∩(BUB’)
E
=A∩E
=A
2-)AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)
3-) DE MORGAN KURALI
a)(AUB)’=A’∩B’
b)(A∩^B)’=A’UB’
FARK İŞLEMİ
Tanım:A veB kümeleri verilsin .a’nın elemanı olup b’nin elemanı olmayan elemanların kümesine a fark b kümesi denir ve A-Bveya ab ile gösterilir.
A-B A∩B B-A
SONUÇ:
1-)S(AUB)=s(AUB) +S(A∩B) +S(B-A)
2-)A-B=A∩B’
Fark İşleminin Özellikleri:
1-)A-A=ø
2-)Ø-A=ø
3-)A-ø=A
4-)A-BB-A
5-)E-A=A’
3 KÜMENİN BİRLEŞİM KÜMESİNİN BULUNMASI
s(AUBUC)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A∩B)-s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)
EVRENSEL KÜME, BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ, İKİ KÜMENİN FARKI, AÇIK ÖNERMELER
EVRENSEL KÜME
Bir kümeye ait elemanlar yanında, bu kümeye ait olmayan elemanların kümesinden de söz edilebilir.Yalnız, bir kümeye ait olmayan bütün elemanların kümesi çok geniş olacağından, hem kullanışlı olmaz hem de hangisinin eleman olup olmadığını tanımlamak güç olur .Bu sebeple bir evrensel küme kabul edilir.Küme denildiğinde bu kümenin elemanları anlaşılır.
AE dir
Tüm kümeler evrensel kümenin bir alt kümesidir.Yukarıdaki örnekte; E={x,y,z,a,b} dir
TANIM: Elemanları, incelenen probleme göre belirlenen en geniş kümeye, evrensel küme denir ve “E” ile gösterilir.
ÖRNEKLER
1. “x³-27=0 denklemini saglayan tek sayıyı bulunuz.”probleminde evrensel küme; E={1,3,5,7,9,11,…} tek sayma sayıları kümesidir.
2. “1 ile 15 arasında ve x²- 4=0 denklemini sağlayan asal sayıları bulunuz.” Probleminde evrensel küme; E={2,3,5,7,11,13} dir.
3. A={a,b,c,d,e} kümesinin evrensel kümesi ; E={Türk alfabesi} dir.
4. A={1,2,3,4,5,6,} ise A kümesinin evrensel kümesi; Eı={1,2,3,4,…} E2={xl x, tam sayı} E3={xl x, gerçek sayı} kümeleridir.
5. A={ü, ç, g, e, n,} ile A nın evrensel kümesi, E={d, і, k, ü, ç, g, e, n} veriliyor. EA ve EA kümeleri bulunuz.
Çözüm: EA={d,і,k,ü,ç,g,e,n} {ü,ç,g,e,n}={ü,ç,g,e,n}=A E A=A dır. EA={d,і,k,ü,ç,g,e,n}{ü,ç,g,e,n}={d,і,k,ü,ç,g,e,n}=E EA=E dir.
TÜMLEME
TANIM: A bir küme olsun. Evrensel kümede A ya ait olmayan elemanların kümesine A’nın tümleyeni denir ve A ile gösterilir
A nın tümleyeni A{xl x xA} olup tanıma göre, aA aA dır.
TÜMLEMENİN ÖZELLİKLERİ
9 Ø=E ve E=Ø
10 Her A kümesi için ,(A)=A dır.
11 Her A kümesi için ,AA=E=AA dır.
12 Her A kümesi için ,AA=Ø=AA dır.
13 (AB)=AB ve (AB)=AB dir.
14 AB BA dir.
ÖRNEKLER
20 E={0,1,2,3,4,…} ve A={1,3,5,7,…} olduğuna göre, A={0,2,4,6,…} dir
21 A={1,2,3,4,5} ve E={xlx, sayma sayısı} ise A nın kümesini tümleyeni, A={6,7,8,9,…} dir.
22 A={1,3,5} ile A nın farklı evrensel kümeleri; Eı={1,3,5,7,9} ve E2={1,2,3,4,5,6,7,8,9} veriliyor. A kümesinin Eı ve E2 kümelerindeki tümleyenleri kümelerini bulalım. Aı A2 müdür?
ÇÖZÜM: A nın Eı deki tümleyeni, A1={7,9} dur. A kümesinin E2 deki tümleyeni, A2 {0,2,4,6,7,8,9} dur. AI A2 dür.Bir kümenin farklı 2 evrensel kümeye göre tümleyeni farklıdır.
İKİ KÜMENİN FARKI
TANIM: A ve B iki küme olsun. A kümesine ait olup da B e kümesine ait olmayan elemanların oluşturduğu yeni kümeye A nın B den farkı denir.AB (ya daA-B) ile gösterilir.
AB={xl xA xB} yazılr.Venn şemasıyla AB kümesi, aşağıdaki şekilde gösterilir.
AB kümesi E de boyanan bölgedir.
ÖRNEKLER
2 A={a,r,t,v,і,n} ve B={t,v} olduğuna göre, AB ve BA kümelerini yazınız.
ÇÖZÜM: AB Aşağıdaki şemada boyalı kısımdır.
AB={a,r,і,n} dir. BA= Ø dir.
3 A={a,b,c,d,e,f}, B={a,b,k,n} olduğuna göre , AB ve BA kümelerini bulalım.
ÇÖZÜM: AB={c,d,e,f} ve BA={k,n} dir. O halde, AB BA dır.Vvenn şsemasıyla, aşağıdaki şekilde gösterilir:
4 A={1,2,3} ve B={p,r,s} olduğuna göre, AB ve BA yı bulunuz.
ÇÖZÜM: AB={1,2,3} ve BA={p,r,s} olup, Venn şemasıyla ,
bulunur.
AÇIK ÖNERMELER
“xN olmak üzere “x, 3 ün katıdır.” Biçiminde bir cümlenin açık bir önerme olduğu mantık bölümünde ifade edilmişti.x yerine doğal sayılar kümesinden bir eleman konulduğunda cümle, önermeye dönüşmektedir.
“x, 3 ün katıdır” ifadesinde, x in yerine 6 yazılırsa,
“6, 3 ün katıdır.”
olur.Bu bir doğru önermedir.Ancak x in yerine 7 yazılırsa,
“7, 3 ün katıdır.”
olur.Bu bir yanlış önermedir.x in yerine bir eleman yazılmadan doğru ya da yanlış olduğu bilinemez. Bu ifadede x e değişken denir.
İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış olduğu belirlenebilen ifadelere,
açık önerme denir.
Bu açık önermeyi, içerdiği değişkenine doğal sayılarda belli bir değer vermeden bir önermeye dönüştürmeye çalışalım.
“x, 3 ün katıdır.” açık önermesinde x ten önce “her” kelimesini koyarak ”her x, 3 ün katıdır.” biçiminde bir cümle yapalım.Bu önerme doğal sayılarda tanımlı olduğundan bu önermenin yanlış olduğu hemen görülür.Çünkü, her doğal sayı 3 ün katı değildir. Böylece bu açık önermenin, her kelimesiyle yanlış bir önermeye dönüştüğü görülür. Bu defa, aynı önermede x ten önce “en az bir” ifadesini koyarak “En az bir x, 3 ün katıdır.” Biçiminde bir cümle yapalım. Bu cümlenin doğru bir cümle olduğu hemen görülür. Doğal sayıların 3 ün katı olan elemanları vardır. Böylece bu açık önerme “en az bir” ifadesiyle doğru bir önermeye dönüştürüldü.
Seçilen bir evrensel kümede bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine, bu açık önermenin doğruluk (çözüm) kümesi denir.
Bu açıklamalardan , bir açık önermedeki x değişkeni “her” ya da “en az bir” kelimeleriyle nicelenerek bir önermeye dönüştürülebilir , sonucuna varılır.
ÖRNEKLER
1. “ xZ için x²= 1 dir.” önermesinin doğruluk kümesi, karesi 1 olan tam sayılardır. Bu sayılar , -1 ve +1 olduğu için,
Ç={ -1 , +1} dir.
DOĞAL SAYILAR
DOĞAL SAYILAR KÜMESİ VE ONLUK SAYMA SİSTEMİ:
Denk Kümeler ve Doğal Sayılar:
Kümelerin eleman sayısını gösteren 0, 1, 2, 3 .. gibi sayıların her birine doğal sayı denir, doğal sayılar sıfırdan başlar , sonsuza kadar devam eder. Doğal sayıların oluşturduğu kümeye Doğal Sayılar Kümesi denir, N ile gösterilir.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, …. }
Sayma Sayıları:
Suluova da kaç tane ilköğretim okulu vardır? Sorusuna karşılık verilen “bir, iki, üç … ” sayılarına sayma sayıları denir. Sayma sayılarının oluşturduğu kümeye sayma sayıları kümesi denir. S ile gösterilir.
S = { 1, 2, 3, 4, … }
Ayrıca 0 S olup
S N veya N S
dir
Doğal sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi
Bir doğru üzerinde belirli bir nokta (0) sıfır noktası olmak üzere, sıfır noktasının sağ tarafını eşit aralıklara bölelim. Bu her bir noktayı sırayla 0,1,2,3.. ile eşleyelim. Doğal sayıların üzerinde gösterildiği bu doğruya sayı doğrusu denir.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sayı doğrusu üzerindeki bir doğal sayı; solundaki tüm doğal sayılardan küçüktür.
örneğin “7 büyüktür 6″ 7>6 veya “6 küçüktür 7″ 6<7 ile gösterilir.
Ardışık Sayılar:
Bir doğal sayının bir fazlası olan doğal sayıya o doğal sayının ardışığı denir. Ardışık iki doğal sayı arasında başka bir doğal sayılar yoktur.
4 ün ardışığı 4+1=5 4 < 5
Doğal Sayılarda Sıralama:
Her han gi sayıdaki doğal sayıdan sayı doğrusundaki yerleri göz önüne alınarak en solda bulunan doğal sayı en küçüğüdür.
Bir başka deyişle sayı doğrusu üzerindeki dizilişleri küçükten büyüğe doğru dizilişle aynıdır.
15 17 21
15 < 17 < 21
veya
21 > 17 > 15
dir
İki Doğal Sayı Arasındaki Doğal Sayıların Sayısını Bulma:
İki doğal sayı arasında kaç tane doğal sayı olduğunu bu sayıların farkından 1 çıkararak buluruz.
Örnek:
81 ile 52 arasında kaç tane doğal sayı vardır?
81 – 52 = 29
29 – 1 = 28
28 tane doğal sayı vardır.
- 2,9,13,12,7,6,4,8 doğal sayılarını sayı doğrusu üzerinde gösterin
- 29 sayısından sonra gelen ardışık beş tane doğal sayı yazın.
- 540, 65, 373, 432, 5 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayın.
- 54 ile 98 sayıları arasında kaçtane doğal sayı vardır?
- 2000 yılı ile 1923 yılı arasında kaç yıl vardır.
ONLUK SAYMA SİSTEMİ
Sayma işlemi sonucunda bulunan sayıyı yazma ve işlem yapma kolaylığı bakımından en uygun sayma sistemi onluk sayma sistemi . Sayıları onluk sistemde yazmak için on tane rakam kullanılır bu rakamlar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
bir iki üç dört beş altı yedi sekiz dokuz sıfır
bu rakamlara bir basamaklı doğal sayılar denir.
Sayıda; rakamın bulunduğu yere, basamak denir. Sayı yan yana kaç rakam ile yazılmışsa basamak sayısı da o kadardır. 23 sayısı iki basamaklı bir sayıdır. 3 ün yazıldığı yere birler basamağı, 2 nin yazıldığı yere onlar basamağı denir.
23 = 2.(10) + 3.(1)
23 sayısı 2 onluk ve 1 birlikten oluşur.
Benzer şekilde; 146 sayısı 1 yüzlük, 4 onluk, 6 birlikten oluşur ve
146 = 1.(100) + 4.(10) + 6.(1)
şeklinde yazılır.
Onluk gruplar halinde oluşturulan bu sayma düzenine onluk sayma sistemi denir.
Basamaklar, onluk sayma sisteminde sağdan sola doğru; birler, onlar, yüzler, binler, onbinler, yüzbinler,.. diye adlandırılır.
Onluk sayma sisteminde her basamak değeri sağındakinin on katıdır.
Çok büyük sayıların yazılıp okunması için; sayının basamakları, sağdan başlanarak üçerli gruplara ayrılır. Bu grupların her birine bölük denir.
MİLYONLAR BÖLÜĞÜ BİNLER BÖLÜĞÜ BİRLER BÖLÜĞÜ
Yüz milyonlar On milyonlar Milyonlar Yüz binler On binler Binler Yüzler Onlar Birler
milyonlar binler birler
bölüğü bölüğü bölüğü
654 612 764
birler basamağı
onlar basamağı
yüzler basamağı
binler basamağı
on binler basamağı
yüz binler basamağı
milyonlar basamağı
on milyonlar basamağı
yüz milyonlar basamağı
Çok büyük bir doğal sayı okunurken şu yol izlenir.
1- Sayı, sağdan sola doğru bölüklere ayrılır.
2- En soldaki bölükten başlayarak, bölükteki sayılar okunur, arkasından bölüğün adı söylenir ve sıra ile sağa doğru devam edilir.
3- En sağdaki bölükte bulunan sayı okunur, bölük adı söylenmez.
Bütün basamaklarda sıfır olan bölük okunmaz.
Buna göre 345,128,307 sayısının okunuşuna yazalım
üç yüz kırk beş milyon yüz yirmi sekiz bin üç yüz yedi
Rakamların Basamak Ve Sayı Değerleri
Rakamların basamak değeri
Sayıdaki bir rakamın bulunduğu basamağa göre aldığı değere, bu rakamın basamak değeri denir.
2546 basamak değeri
6.1 = 6
4.10 = 40
5.100 = 500
2.1000 = 2000
toplam 2546
Not : Basamak değerlerinin toplamı sayının kendisidir.
Rakamın sayı değeri
Rakamın bulunduğu basamağa bağlı olmadan tek başına gösterdiği sayıya, bu rakamın sayı değeri denir.
Rakamın sayı değeri hiç değişmez
2 sayı değeri
8
5
7
olur.
1- 152,123,090 sayısının okunuşunu yazın.
2- On milyon üçyüz altı bin kırk üç sayısının rakamla yazılışı nedir?
3- 23901 sayısının basamak ve sayı değerlerini yazın.
4- 1050195 sayısında sayı değeri aynı olan kaç basamak vardır?
ÜSLÜ DOĞAL SAYILAR
Bir doğal sayının üslü biçimde yazılması
üs
53 = 5 . 5 . 5
3 tane
taban
Yukarıdaki 53 ifadesine üslü ifade denir. Üslü ifade tabanının üs kadar yan yana yazılıp çarpılması demektir.
Bir sayının üssü, o sayıdan kaç tanesinin yan yana yazılıp çarpılacağını gösterir.
Özel olarak bir sayının 2. kuvvetine sayının karesi, 3. kuvvetine sayının küpü denir.
43 ifadesi “dördün küpü” şeklinde okunur.
23 = 2.2.2 = 4.2 = 8
34 = 3.3.3.3 = 9.9 = 81
Üslü bir sayma sayısının değerini bulup yazma
Üslü bir sayma sayısının değeri, sayının üssü kadar yan yana yazılıp çarpılması ile bulunur.
Örnek
43 = 4.4.4 = 16.4 = 62
53 = 5.5.5 = 25.5 = 125
24 = 2.2.2.2 = 4.4 = 16
Not :
1- 1 in bütün kuvvetleri 1 e eşittir
2- Üssü 1 olan doğal sayı kendine eşittir ve ayrıca her doğal sayı üssü 1 olan bir üslü sayıdır
3- Üssü 0 olan doğal sayı 1 e eşittir
4- 0 ın bütün üsleri 0 dır
10 un üsleri
üslü ifade çarpan değeri
100 1 1
101 10 10
102 10.10 100
103 10.10.10 1000
104 10.10.10.10 10000
105 10.10.10.10.10 100000
106 10.10.10.10.10.10 1000000
107 10.10.10.10.10.10.10 10000000
108 10.10.10.10.10.10.10.10 100000000
109 10.10.10.10.10.10.10.10.10 1000000000
Üslü doğal sayılarda sıralama
1- Eğer üslü ifadelerin tabanları aynı üsleri farklı ise; üssü büyük olan büyüktür.
2- Eğer üslü ifadelerin üsleri aynı tabanları farklı ise; tabanı büyük olan büyüktür.
3- Tabanları ve üsleri farklı ise; bu durumda karşılaştırma yapmamız için sayıların değerini bulmalıyız, daha sonra sıralayabiliriz.
Not Üslü bir ifadede
üsle taban yer değiştirilirse sayı değişir.
Onluk sayma sisteminde verilen bir sayıyı çözümleme
Bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazmaya sayıyı çözümleme denir.
Örnek: 204 sayısının çözümleyin
204
4 4.1 = 4
0 0.10 = 0
a) 2.100 = 200
204 = 4.1 + 0.10 + 2.100
bunu 10 un üslü biçimi ile yazarsak
204 = 4.100 + 0.101 + 2.102
Onluk sistemde çözümlenmiş bir sayıyı yazma ve okuma
Çözümlenerek verilmiş bir sayıyı toplarsak sayının kendini buluruz.
5.103 + 1.102 + 0.101 + 4.100 = 5000 + 100 + 0 + 4
= 5104
1- 4 ün 6. Kuvveti ile üslü biçimde yazın
2- 73 ün değeri nedir?
3- 10 un 5. Kuvveti nedir?
4- 53 , 51 , 52 üslü ifadelerini sıralayın
5- 3501 sayısını çözümleyin
6- 3.104 + 5.103 + 0.102 + 8.101 + 2.100 çözümlenmiş sayısının değerini bulun
DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ
Toplama işlemi sayı doğrusu üzerinde ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır.
Örnek:
2 + 52 = 54
Örnek:
213
751
102
+_____
1066
Örnek:
34 + 652 + 103 = 789
Örnek:
4a51
12b0
+_____
5541
Yukarıdaki toplamı işleminde a ve b sayıları için a+b = ?
DOĞAL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1- Kapalılık Özelliği:
Herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olduğu için, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin kapalılık özelliği vardır.
Örnek:
3 ile 87 nin toplamı bir doğal sayımıdır?
2- Değişme Özelliği:
Toplanan herhangi iki doğal sayının sırasını değiştirip tekrar toplarsak sonuç değişmediğinden, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
Örnek: ?
4 + 9 = 9 + 4
3- Birleşme Özelliği:
Her hangi üç doğal sayı toplanırken; ilk ikisi ile üçüncüsünün toplamı, son ikisi ile birincinin toplamına eşit olduğundan, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
Örnek: ?
( 3+ 12 ) + 24 = 3 + ( 12 + 24 )
4- Etkisiz Eleman Özelliği:
Her hangi bir doğal sayı ile sıfır toplandığında sonuç ilk doğal sayı olduğundan, doğal sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı vardır ve sıfırdır.
Örnek:
8 + 0 = ?
1- 6 ile 13 ün toplamı bir doğal sayımıdır?
2- 5 + 8 in yerleri değişerek toplandığında sonuç değişir mi?
3- 24 + ( 41 + 39 ) = ( 24 + 41 ) + 39 olduğunu gösterin.
4- 233 + 0 = ?
15 Kapalılık özelliği
Her hangi iki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayı olduğu için, doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin kapalılık özelliği vardır.
16 Değişme özelliği
Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmeyeceğinden, Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
17 Birleşme özelliği
Her hangi üç doğal sayı çarpılırken; ilk ikisinin çarpımı ile üçüncüsünün çarpımı, son ikisinin çarpımı ile ilkinin çarpımına eşit olduğu için, Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
18 Yutan eleman
Her hangi bir doğal sayı ile sıfırın çarpımı yine sıfır olduğu için Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı vardır ve sıfırdır.
19 Etkisiz eleman
Bir doğal sayının bir ile çarpımı bu sayının kendisine eşit olduğundan, doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı birdir.
20 Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği
a,b,c N için
a ( b + c ) = ab + ac
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır
21 Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği
a,b,c N için
a ( b – c ) = ab – ac
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır
1. 3 ile 5 in çarpımı bir doğal sayımıdır?
2. 6 . 8 = 8 . 6 mıdır?
3. 2.(5.11) = (2.5)11 midir?
4. 1.0 = ?
5. 5.( 4 – 2 )=? çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapın
BÖLME İŞLEMİ
BÖLÜNEN BÖLEN
BÖLÜM
KALAN
Bir doğal sayının 1 e bölünmesi
Bir doğal sayının 1 e bölümü yine kendisidir.
Bölme işleminin özellikleri :
1. Kapalılık özelliği
İki doğal sayının birbirine bölümü her zaman bir doğal sayı olmayacağından dolayı, doğal sayılar kümesinde bölme işleminin kapalılık özelliği yoktur.
2. Değişme özelliği
Bölme işleminde değişme özelliği yoktur
3. Birleşme özelliği
Bölme işleminde birleşme özelliği yoktur
1. 57 sayısını 3 e bölün
2. 73 sayısını 4 e bölün
3. 92 sayısını 1 e bölün
DOĞAL SAYILAR – TAM SAYILAR
RAKAM : Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere “ rakam” denir.
{0,1,2,,3,,4,5,6,7,8,9} ONLUK SİSTEMİN RAKAMLARIDIR.
{ 0,1,2} ÜÇLÜK SİSTEMİN RAKAMLARIDIR.
ÖRNEK : x ve y farklı rakamlar ise x + y ve x .y nin en büyük değeri nedir?
x + y = 17 x . y = 72
ÖRNEK : x ve y rakam olmak üzere x + y ve x . y nin en büyük değeri nedir?
x + y = 18 x . y = 81
SAYI : Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeye “sayı” denir.
NOT : Her rakam bir sayıdır , fakat her sayı bir rakam değildir.
72 sayıdır fakat rakam değildir
7 hem sayı , hem de rakamdır
DOĞAL SAYILAR
N = {0,1,2,3,4,………….} Kümesinin her bir elemanına “doğal sayı” denir.
N+ = { 1,2,3,4,…………..} Kümesinin elemanlarına “ sayma sayıları” veya “pozitif doğal sayılar” denir.
ÖRNEK : a ve b doğal sayıdır.
a + b = 11 ise a . b nin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri nedir?
TAM SAYILAR
Z = { ………..-3,-2,-1,0,1,2,3,……….} tam sayılar
Z- = { ……………..-4,-3,-2,-1} negatif tam sayılar
Z+= {1,2,3,4,……………………} pozitif tam sayılar
ÖRNEK : a , b , c Z olmak üzere
a . b = 21 , b . c = – 15 ise a . b . cnin en küçük değeri nedir?
SAYI ÇEŞİTLERİ
1-) Çift sayılar : n Z olmak üzere “2n” genel ifadesiyle belirtilen tam sayılara “çift sayı” denir
Ç = { ……..-4,-2,0,2,4,………}
2-) Tek sayılar : n Z olmak üzere 2n + 1 veya 2n – 1 genel ifadesiyle belirtilen tam sayılara “tek sayı” denir
T = { ……..-5,-3,-1,1,3,5,………}
NOT : 2 ile bölündüğünde 0 kalanını veren tam sayılara “çift sayı” , 1 kalanını veren tam sayılara “tek sayı” denir.
T T = Ç T . T = T n Z+ için
T Ç = T T . Ç = Ç T n = T
Ç T = T Ç . T = Ç Ç n = Ç
Ç Ç = Ç Ç . Ç = Ç
ÖRNEK : a , b, c Z+ olmak üzere
ise a ve b nasıl sayılardır?
ARDIŞIK SAYILAR : n Z olmak üzere
Ardışık tam sayılar n , n + 1 , n + 2 , n + 3 ,…………
Ardışık çift sayılar 2n , 2n + 2 , 2n + 4 ,……………..
Ardışık tek sayılar 2n – 1 , 2n + 1 , 2n + 3 ,…………
3’ ün katı olan ardışık sayılar 3n , 3n +3 ,3n +6…………
ÖRNEK : Ardışık üç çift tam sayının toplamı 66 ise bu sayıların en büyüğü kaçtır?
ÖRNEK : a ,b ,c ardışık üç tek sayı ve a < b < c dir.Buna göre
( a – c ) . ( b – c ) – ( a – b ) 3 = ?
ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMI
1 + 2 + 3+...........+ n =
2 + 4 + 6+........+ 2n = n.( n + 1 )
1 + 3 + 5 +.........+ ( 2n – 1 ) = n 2
ASAL SAYILAR : 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1’ den büyük doğal sayılara “asal sayı” denir.
2 ,3,5,7,11,13,17............asal sayıdır.
NOT : 1 asal sayı değildir.
ARALARINDA ASAL SAYILAR : 1’ den başka ortak böleni olmayan sayılara “aralarında asal sayılar” denir.
4 ile 7 aralarında asaldır
9 ile 25 aralarında asaldır
3 ile 21 aralarında asal değildir çünkü her ikisi de “3” ile bölünür.
1-RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLİKLER
A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir.Rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denir.Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.
NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir.
ÖR:
Yandaki şekilde,bir bütün 4 eş parçaya
bölünmüş ve bu eş paçalardan üç tanesi . taranmıştır.
3
4
Taralı bölge,bütünün üç tane parçası(kesri)dir.
Bu parçaları belirten kesir, 3 biçiminde gösterilir.
4
3 kesrinde; 3’e pay,4’e payda denir: 3 kesri, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.
NOT:Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.
Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir.
Q = Q- U {0} U Q+
B)Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük)
1-Paydaları eşit olan rasyonel sayılar:
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyük,payı küçük olan daha küçüktür.
ÖR: 15 , 7 , 3 3 7 15
20 20 20 20 20 20
Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Payı büyük olan negatif rasyonel sayılar küçük,payı küçük olan negatif rasyonel sayılar büyüktür.
ÖR: 15 , 7 , 3 15 7 3
20 20 20 20 20 20
2-Payları eşit olan rasyonel sayılar:
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyük, paydası büyük olan daha küçüktür.
ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 3 5 9
Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Paydası büyük olan negatif rasyonel sayılar büyük paydası küçük olan negatif rasyonel sayılar küçüktür.
ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 9 5 3
3-Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:
Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bölünerek sıralama yapılır.
ÖR: 18 , 7 , 48 18:3=6 48 7 18
3 4 57 7:4=1,75 57 4 3
48:57=0,84
Arada olma
İki rasyonel sayı arasına bir yada birkaç rasyonel sayı yerleştirmeye denir.
ÖR: 2 ile 4
1- 5
I.YOL: 2 4 II:YOL:2 4 III.YOL: 1 2 4
3 5 3 5 2 3 5
2
1 2 4 1 10 12 1 22 22
2 3 5 2 15 15 2 15 30
ÖR: 5 ile 7 1 5 7 1 15 14
4 6 2 4 6 2 12 12
1 29 29
2 12 24
5 29 7
4 24 6
C-İrrasyonel sayılar:
Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşın,rasyonel olmayan
gibi sayılara irrasyonel sayılar denir.İrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.
Gerçek (reel) sayılar kümesi:Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denir.Gerçek
sayılar kümesi ,sayı ekseninin her noktasını doldurur.Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir.
Gerçek sayılar kümesi,”R” sembolü ile gösterilir.
2-RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ
a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenir.Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak payda,paydaya yazılır.toplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir.
Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.
ÖR: +3 +7 +3 +35 +3 +38
5 1 5 35 3 5
b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılır.Ortak payda ,paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.
ÖR: 1 2 1 20 24 15
3 5 4 60 60 60
+20+24+(-15)
60
+44+(-15)
60
29
60
3-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a)Kapalılık özelliği:İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
ÖR: - 2 + 2 -4 +2 -2
3 6 6 6 6
b)Değişme özelliği:Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır.
ÖR: -4 +1 -8 +7 -1
7 2 14 14 14
+1 -4 +7 -8 -1
2 7 14 14 14
-4 +1 +1 - 4
7 2 2 7
c)Birleşme özelliği:rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
ÖR: 4 3 1 4 4 8
5 5 5 5 5 5
4 3 1 7 1 8
5 5 5 5 5 5
4 3 1 4 3 1
5 5 5 5 5 5
d)Etkisiz (birim) eleman özelliği:”0”tam sayısına,rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.
ÖR: -7 -7 -7 -7
9 9 9 9
buna göre;
-7 -7
9 9
e)Ters eleman özelliği:Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.
ÖR: +5 -5
1- 20
-5 +5
20 20
4-RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının farkı bulunurken,eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.
ÖR: +3 +1 +3 -1 +18 -5 +13
5 6 5 6 30 30 30
ÖR: +7 +5 +7 +25
10 2 10 10
+7 -25 -18
10 10 10
Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkı, yine bir rasyonel sayıdır. Buna göre ;
Rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.
5-RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.
NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.
Yani:
+ x + = +
- x - = +
- x + = -
+ x - = -
ÖR: -4 +3 (-4)x(+3) -12
1 4 1 x 4 4
NOT:Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.
6-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a)Kapalılık özelliği:
İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
ÖR: +3 -2 -6
4 3 12
b)Değişme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
ÖR: -19 -1 +19
20 3 60
-1 -19 -19
3 20 60
c)Birleşme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
ÖR: +3 -2 +1 -6 +1 -6
1 3 5 3 5 15
+3 -2 +1 +3 -2 -6
1 3 5 1 15 15
d)Yutan eleman:
Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır.”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir.
ÖR: -7 -7
1- 9
e)Etkisiz birim eleman:
+1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.
ÖR: +4 +4 +4 +4
3 3 3 3
f)Ters eleman:
Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.
ÖR: +2 +3 2 x 3 +1
3 2 3 x 2 1
g)Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
ÖR: +1 +2 +1 +1 +3 +3
2 4 4 2 4 8
+1 +2 +1 +1 +2 +1 +1
2 4 4 2 4 2 4
+2 1 +3
8 8 8
h)Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
ÖR: 1 2 1 1 1 1
2 4 4 2 4 8
1 2 1 1 2 1 1
2 4 4 2 4 2 4
a) 1
8 8
1
8
7-RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünene rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.
NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif;ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.
Yani: + x + = +
- x - = +
- x + = -
+ x - = -
ÖR: -3 +2 -3 +4 -3
4 4 4 2 2
+1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.
ÖR: -2 1 -7 -7
7 1 2 2
(-1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.
ÖR: 12 +17 17
17 12 12
Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir.
Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen
bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.
ÖR: -2 -2 1 -2 1 -2
7 7 1 7 1 7
ÖR: -2 -2 -1 -2 -1 2
7 7 1 7 1 7
NOT:Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır.
Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = bölen x bölüm” ilişkisi vardır.
NOT:Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır.
NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur.
NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.
RASYONEL SAYILAR
a ve b birer tamsayı, b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise, a/b şeklinde yazılabilen sayılara, Rasyonel Sayı denir. Yani, denk kesirlerin belirttiği sayıdır. Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa, Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir. Buradan, Rasyonel Sayılar Kümesini,
Q = {x: x=a/b; a, b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }
şeklinde gösterebiliriz. Örneğin,
1/5, 2/3, 4, 8/5, -1/2, -6/5, 0, ...
sayıları, birer rasyonel sayıdır.
Bazı Özellikler:
Her doğal sayı, bir tamsayıdır.
Her tamsayı, bir rasyonel sayıdır. Çünkü, tamsayıların paydası vardır ve 1' dir.
a/b = c/b ise, a=c dir.
a/b=c/d ise, a.d=b.c dir.
a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise, a=c ve b=d dir.
RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER
1. TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:
Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için, paydaların eşit olması gerekir. Şayet, paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenir. Ortak payda, payda olarak alınırken, toplama işleminde payların toplamı paya, çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır. Bu kuralı, aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:
Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi, -a/b dir, yani ters işaretlisidir.
Örnekler:
2. ÇARPMA İŞLEMİ
Rasyonel iki sayının çarpımı, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır. Yani,
şeklinde yapılmalıdır. İşaret kuralı, tamsayılardaki gibidir. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, b/a dır. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi,
(a/b)-1 = b/a
şeklinde gösterilir.
Örnekler:
3. BÖLME İŞLEMİ
Rasyonel iki sayının bölümü, ilk sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır. Yani, ilk sayı, ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Bölme işleminin genel kuralı,
şeklindedir. Burada b, c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir. Çünkü, sıfıra bölme tanımsızdır. Diğer taraftan, sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü, sıfırdır. İşaret kuralı, çarpma işlemindeki gibidir.
Örnekler:
Karışık Örnekler:
Örnek 1:
olduğuna göre,
toplamının a cinsinden değeri nedir?
Çözüm:
Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak,
olur. Yani, a+b=12 bulunur. Buradan, b=12-a çıkar.
Örnek 2:
sayısı,
sayısının kaç katıdır?
Çözüm:
Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için, bölme işlemi yapılmalıdır. Bu takdirde,
Örnek 3:
olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden,
yazabiliriz. Buradan, a/10 = 10-5, a/10 = 5, a= 10.5, a=50 bulunur.
Örnek 4:
Çözüm:
yazılabilir. Buradan,
4x + 5 = x2
x2-4x -5 = 0
Çarpımları -5, toplamları -4 olan iki sayı, -5 ile +1 olduğundan,
(x-5).(x+1) = 0
yazabiliriz. Böylece,
x=5 ile x=-1 bulunur. Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından, x = 5 olmalıdır.
Not: 5, 4' ün 1 fazlası olduğundan, sonuç 5 çıkmıştır. 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı, sonuç 9 olacaktı. 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak, şayet b, a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise, bu işlemin sonucu, b olur.
Örnek 5:
işleminin sonucu, yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Çözüm:
Verilen işlem, sonsuzlu işlem olduğundan, 3' ün paydasına x dersek, işlemin tamamı da x olur. Dolayısıyla,
yazabiliriz. Buradan, 4x -3 = x2, x2 -4x +3 = 0 olur. Bu denklem de, (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden, x=3 ile x=1 bulunur. Dolayısıyla, doğru seçenek (b) şıkkıdır.
Not:
işleminde, (a/2)2 = b ise, bu işlemin sonucu a/2 dir.
Örnek 6:
Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan, işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür.
RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI :
Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması:
1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların, payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür (küçüktür).
Örnek:
7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan, payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, bu rasyonel sayılar
şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir.
2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür).
Örnek:
12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız.
Çözüm:
Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan, paydası küçük olan daha büyük olduğundan,
şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz. Diğer taraftan,
şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz.
3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise,
Şayet, rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha küçüktür.
Şayet, rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha büyüktür.
Örnek:
12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 5' tir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, 12/17 rasyonel sayısı, 14/19 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,
şeklinde yazabiliriz.
Örnek:
107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarının her ikisi de bileşik kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 2' dir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha büyüktür. Bu nedenle, 359/357 rasyonel sayısı, 107/105 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,
dir.
4) Rasyonel sayılar, ondalık kesre çevrilerek de sıralanabilir.
Örnek:
10/11 ile 100/111 kesirlerini sıralayınız.
Çözüm:
a=10/11 olsun. O zaman, 1/a=11/10=1,1 olur.
b=100/111 olsun. O zaman, 1/b=111/100=1,11 olur.
Dolayısıyla,
dir. Buradan, b < a bulunur. Ayrıca, a > b şeklinde de yazabiliriz.
5) Rasyonel sayılar, tamsayılardan daha yoğundur. Bu nedenle, iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı vardır. Buna, rasyonel sayılar sıktır ya da yoğundur denir. Bundan dolayı, rasyonel sayılarda ardışıklıktan söz edilemez. İki rasyonel sayının arasında yer alan bir başka rasyonel sayı şöyle bulunabilir:
a/b ile c/d birer rasyonel sayı ve a/b < c/d ise, bu iki rasyonel sayı arasında yer alan başka bir rasyonel sayı,
şeklinde bulunabilir.
Örnek:
1/2 ile 3/5 rasyonel sayıları arasındaki rasyonel sayıyı bulunuz.
Çözüm:
bulunur. Dolayısıyla,
yazabiliriz.
6) İki rasyonel sayı arasında yer alan rasyonel sayıları bulmak için, bu iki rasyonel sayının paydaları eşitlenir.
Örnek:
Aşağıdakilerden hangisi 1/6 ile 2/5 arasında yer almaz?
a) 7/30 b) 9/30 c) 10/30 d) 11/30 e) 13/30
Çözüm:
1/6 ile 2/5 kesirlerinin paydaları 30' a eşitlenirse, 1/6=5/30 ve 2/5=12/30 olur. Dolayısıyla, 5/30 ile 12/30 arasındaki rasyonel sayılar
6/30, 7/30, 8/30, 9/30, 10/30, 11/30
dir. Buna göre, 13/30 rasyonel sayısı bu ikisi arasında bulunmaz. Doğru seçenek, (e) şıkkıdır.
Negatif Rasyonel Sayıların Sıralanması:
Rasyonel sayılar önce işaretsiz (pozitif) olarak sıralanır. Sonra da ters sıralama yapılarak, negatif değerlerin sıralaması elde edilir. Çünkü, sıralama sembollerinin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılırsa, sıralama sembolü yön değiştirir.
Örnek:
a = -1/3 ve b = -2/7 ise, a ile b' yi sıralayınız.
Çözüm:
a ile b negatif rasyonel sayılar olduğundan, işaretsiz olarak ele almalıyız. Yani, 1/3 ile 2/7 sayılarını göz önüne alalım. Bu iki kesrin, paylarını eşitleyelim. Bu takdirde, 1/3 = 2/6 olur ve 2/7 sayısı ile birlikte göz önüne alınırsa, payları eşit olan kesirlerden, paydası küçük olan daha büyük olduğundan, 2/6 sayısı 2/7 sayısından daha büyüktür. Böylece,
olur. Rasyonel sayıların işaretlerini negatif alıp, eşitsizliğin yönünü değiştirirsek,
buluruz. Dolayısıyla, a < b dir.
Örnek:
x < 0 olmak üzere, a = x/3 ve b = x/7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Şayet x > 0 olsaydı,
olacaktı. x < 0 olduğu için,
olur.
Örnek:
ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3
e) 22/3 < x < 12
Çözüm:
Verilen sıralamanın her üç tarafını da 4 ile çarparsak,
olur ve sonra da sıralamanın her üç tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik olmayacağından,
22/3 < x < 26
bulunur. Doğru seçenek (c) şıkkıdır.
Örnek:
a=10/11, b=100/111, c=1000/1111
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (ÖSS-1999, iptal sın.)
a) c < b < a b) c < a < b c) a < b < c d) a < c < b e) b < c < a
Çözüm:
a=10/11=1/1,1
b=100/111= 1/1,11
c=1000/1111=1/1,111
payları eşit olan kesirlerin, paydası en büyük olan daha küçük olduğundan,
a > b > c olur. Doğru seçenek (a) şıkkıdır.
Örnek:
a > 0, b > 0, c > 0 ve
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (ÖSS-1992)
a) a < c < b b) a < b < c c) b < a < c d) b < c < a e) c < b < a
Çözüm:
a, b ve c pozitif sayılar olduğundan,
yazabiliriz. Buradan, a=5, b=15 ve c=10 olur. Böylece, a < c < b bulunur. Doğru seçenek (a) dır.
Örnek:
a=7/8, b=10/11, c=13/5
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
a) a < c < b b) a < b < c c) b < c < a d) c < b < a e) c < a < b
Çözüm:
a ile b kesri basit bir kesirken, c bileşik kesirdir. Bu nedenle, c bileşik kesri en büyüktür. O halde, a ile b yi incelemeliyiz.
Buradan, a < b bulunur. Böylece, a < b < c elde edilir. Doğru seçenek (b) dir.
Örnek:
olduğuna göre a, b, c sayıları sırasıyla, aşağıdakilerden hangisindeki sayılar olabilir?
a) 6/45, 11/45, 12/45
b) 4/27, 6/27, 7/27
c) 5/36, 6/36, 7/36
d) 2/18, 5/18, 6/18
e) 7/54, 9/54, 15/54
Çözüm:
Bu tür sorularda seçeneklerden gidilmelidir. Kesirlerin paydaları seçeneklerin paydalarına eşit olacak şekilde genişletilmelidir.
a) Bu şıkta paydalar 5 ile genişletilmiştir. O halde, 5 ile genişletirsek
5/45 < a < b < c < 10/45
olur. Burada, b ve c yer almaz. Dolayısıyla, bu seçenek doğru olamaz.
b) Bu şıkta paydalar 3 ile genişletilmiştir. O halde, 3 ile genişletirsek
3/27 < a < b < c < 6/27
olur. Burada da, b ile c bu aralıkta yer almaz. Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz.
c) Bu şıkta paydalar 4 ile genişletilmiştir. O halde, 4 ile genişletirsek
4/36 < a < b < c < 8/36
olur. Burada, a, b ve c bu aralıkta yer alır. Dolayısıyla, doğru seçenek bu seçenektir.
d) ve e) seçenekleri yukarıdaki nedenlerle doğru seçenek olamaz.
RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER
KESİR
a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir. Burada a' ya kesrin payı, b' ye de kesrin paydası denir. Bir başka deyişle, kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır. Kesrin paydası, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken, kesrin payı da bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir. Örneğin, 2/5 kesri, bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder.
DENK KESİRLER
a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ile c/d birer kesir ve a.d = b.c ise, a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir. Örneğin, 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:
3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, ... , 3m/5m, ...
Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır. Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse, kesrin değeri değişmez. Bir kesrin payı ve paydası, aynı sayı ile çarpılırsa, buna kesrin genişletilmesi denir. Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:
Şayet bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile bölünürse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir. Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:
BAYAĞI KESİR
a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere, bayağı kesir denir. Bayağı kesirler üçe ayrılır:
1. Basit Kesirler:
Payı, paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,
2/3, 3/5, 4/7, 1/2, 9/10, 1/3, 2/7, 10/15, ...
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, basit kesirdir. Bununla birlikte, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler denir. Burada, 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için, birim kesirlerdir.
2. Bileşik Kesirler:
Payı, paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,
3/2, 5/3, 7/4, 2, 10/9, 3, 7/2, 15/10, 12/12, ...
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, bileşik kesirdir. Çünkü, bu kesirlerin tümünün payı, paydasından büyüktür.
3. Tamsayılı Kesirler:
a, b, c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere,
şeklinde gösterilen kesirlerdir. Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir. Örneğin,
kesri, tamsayılı bir kesirdir. Buradan, bir tamsayılı kesrin, bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz. Aynı şekilde, bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz. Bileşik bir kesri, tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı, paydasına bölünür, bölüm tam kısmını, kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır. Örneğin, 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım. 11, 5' e bölünürse, bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan,
şeklinde yazabiliriz.
Not: Kesirler, eksili (negatif) de olabilirler.
Örnek:
kesrinin basit bir kesir olabilmesi için, x kaç tane değer alır?
Çözüm:
Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için, payının paydasından küçük olması gerekir. Dolayısıyla, 2x - 3 < 12 olması gerekir. x' i yalnız bırakabilmek için, 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak,
2x < 12 + 3
2x < 15
x < 15/2
bulunur. x doğal sayı olduğuna göre, 15/2' den küçük doğal sayılar,
x = {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}
dir. Bu nedenle, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir basit kesir olur.
1990 – 2000 YILLARI ARASINDA ÖSS / ÖYS’DE RASYONEL SAYILARLA İLGİLİ SORULAN SORULAR :
1) 0,0034 Kesri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
0,17
A)
1
B) 1 C) 1 D) 1 E) 1
100 50 20 10 2
0,0034 = 34 = 2 = 1
0,17 1700 100 50
2) X, pozitif bir ondalık sayıdır. x + 1 Bir tamsayı olduğuna göre x’in virgülden sonraki kısmı nedir?
40
A)
…,975 B) …,075 C) …,125 D) …,250 E) ..,025
x + 1 = 1 olsun
40
x = 1 - 1 = 1 – 0,025 = 0,975‘ tir.
40
3) 3 - 1 < a < b < c 2 Olduğuna göre a,b,c sayıları sırasıyla aşağıdakilerin hangisindeki sayılar olabilir?
9 9
A)
6 , 11 , 12 B) 4 , 6 , 12
C) 4 , 6 , 12
45 45 45 27 27 45 27 27 45
D)
2 , 5 , 6 E) 7 , 9 , 15
18 18 18 54 54 54
1 < a < b < c 2
9 9
4 < b < c 8 ise a= 5 b= 6 c= 7 dır.
36 36 36 36 36
Diğer şıklarda verilen sayıların 1 , 2 aralarında olmadığı benzer şekilde görülür.
9 9
4) 2,3,4,5 rakamlarından ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay; öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı sayı da payda olmak üzere elde edilebilecek kesirlerden en büyüğünün yaklaşık değeri nedir?
A) 2,34 B) 2,14 C) 1,96 D) 1,72 E) 1,48
Şartlara uygun en büyük sayı; payı en büyük ve paydası en küçük olan sayıdır. Buna gör sayı 54 = 2,34 ‘ tür.
23
5) 5 - 0,1 + 0,04 + 2 İşleminin sonucu nedit?
0,01 0,02 0,2
A) 4 B) 7 C) 15 D) 22 E) 41
0,1 + 0,04 = 2 = 10 + 4 + 20 = 10 + 2 + 10 = 22’dir.
0,01 0,02 0,2 1 2 2
ÇARPANLARA AYIRMA
1-)ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA
A(X).B(X)+A(X).C(X)=A(X).[B(X)+C(X)
Ortak çarpan parantezine almaktaki amaç terim sayısını bire düşürmektir.Böylece ifadelerde sadeleştirme kolaylıkla yapılabilir.
ÖRNEKLER:
1-)ax+bx-cx ifadesini çarpanlara ayıralım!
ax+bx-cx üç terimlisinde ortak çarpan x’tir.buna göre;
ax+bx-cx=x.(a+b-c) olur.
2-)a b c+a b c+a bc ifadesini çarpanlarına ayıralım!
İfade üç terimlidir ve abc ortak çarpandır.O halde;
a b c+ab c+a bc=abc(ab+bc+a c)dir.
2-)GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA
Verilen ifadenin terimleri uygun şekillerde guplara ayrılır ve her grupta ortak bi çarpan bulunmaya çalışılır.
ÖRNEKLER:
1-)ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b).(x+y)
2-)x-ax+2x-2a=(x-ax)+(2x-2a)
=x(x-a)+2(x-a)
=(x-1).(a-1)
3-)ax-a-x+1=(ax-a)+(-x+1)
=a(x-1)-1(x-1)
=(x-1).(a-1)
3-)İKİ KARE FARKI OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI
a-b=(a-b).(a+b)
ÖRNEKLER:
1-)4x - 9=(2x-3)(2x+3)
2x - 3
2-)(2a-3) - (a-2)=
=(2a-3) – (a-2)
=[(2a-3)-(a-2)].[(2a-3)+(a-2)]
=(2a-3-a+2).(2a-3+a-2)
=(a-1).(3a-5)
3-)(2x-3)-1=
= (2x-3)-1
=[(2x-3)-1].[(2x-3)+1]
=(2x-3-1).(2x-3+1)
=(2x-4).(2x-2)
=4(x-2).(x-1)
4-)(298-98)-200.392 =16 (1994/ÖSS)
2a
= (298-98)(298+98)-200.392 =16
2a
= 200.396-200.392 =16
2a
=200(396-392) =16
2a
=100.4 =16 a=100.4 a=25
a 16 a - b İFADESİNİ ÇARPANLARA AYIRMA
a-b=(a-b) (a + a b+a .b +.....+b )
ÖRNEKLER:
x –y ifadesini çarpanlarına ayırınız
1-) x - y = (x-y) (x +x y+x y+xy +y )olur.
2-) x – y ifadesini çarpanlarına ayırınız.
x – y =(x – y)(x +x y+x y +x y + xy +y ) olur.Ncak ikinci çarpan tekrar çarpanlara ayrılır.Bu soruyu aşağıdaki gibi çözersek daha kolay olur.
x – y = (x ) – (y )
= (x -y )(x +y )
=(x-y)(x +xy+y )(x+y)(x –xy +y )
a + b İFADESİNİ ÇARPANLARINA AYIRMA
a- ) n tek ise a + b=(a+b)(a - a .b+a .b -....+b )’dir.
ÖRNEKLER
1-) a – b ifadesini çarpanlarına ayıralım.
a + b=(a+b)(a – a b +a b –ab + b )
b- )n çift ve n=2 (k Z)
p tek ve tam sayı olmak üzere n=p.t ise
a + b=(a ) +(b ) biçiminde yazarak ayrılır ç4-)TAM KARE OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI
(a+b)=a+2ab+b
(a-b)=a-2ab+b
Tam kare üç terimli ifadelerde,iki terimin kare kökleri çarpımının iki katı,üçüncü(ortadaki) terimi vermektedir.
ÖRNEKLER:
1-)x+4x+4 ifadesi tam kare midir?
x + 4x +4=(x+2)
x 2
2.x.2=4x (ortadaki terim) o halde x+4x+4 tam karedir
2-)2000-4000.1999+1999 işleminin sonucu kaçtır?
2000 1999
2.2000.1999=4000.1999 olduğuna göre
2000-4000.1999+1999=(2000-1999)
=1 olur.
5-)ÜÇ TERİMLİYİ ÇARPANLARA AYIRMA
x+bx+c şeklindeki bir üç terimli çarpanlarına ayrılırken, çarpımları c(sabit terim),toplamları b(x in katsayısı) olan iki sayı aranır.
ÖRNEKLER:
1-)x+y+4x-6y+19 ifadesinin en küçük değeri nedir?
x+y+4x-6y+19
=(x+4x+4)+(y-6y+9)+6
=(x+2)+(y-3)+6 (x+2) en az 0 (y-3) en az 0 olacağına göre (x+2)+(y-3)+6 nın en küçük değeri 6 olur. Çarpanlarına ayrılır.
2 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için
x 0 (mod2) olmalı
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0
10 0(mod2) olduğuna göre n∈N için 10n 0 (mod2)
x 0+0+0+ . . . +a0 0 (mod2) olmalı.
Demek ki a0 0(mod2) olmalı.
O halde son basamaktaki sayı çift olmalıdır.
3 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için
x 0 (mod3) olmalı
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0
10 º1 (mod3) olduğuna göre n∈N için 10n 1(mod3)
x º an.1+an-1.1+ . . . +a.1+a0 º 0 (mod3) olmalı
Demek ki an+an-1+an-2+ . . . +a1+a0 º 0 (mod3) olmalı
O halde rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır.
4 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a2.102+a1.101+a0 º0 (mod4) olmalı
101 º 2 (mod4)
102 º 0 (mod4)
103 º 0 (mod4)
104 º 0 (mod4)
O halde
x º an.0+an-1.0+ . . . +a2.0+a1.10+a0 º 0 (mod4)
a1.10+a0 º 0 (mod4) olmalı
O halde sayının son iki basamağındaki sayı 4 ile tam bölünebilmelidir.
5 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . .a0 sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod5) olmalı
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a1.101+a0
10 º 0 (mod5) olduğuna göre n∈N için 10n 0(mod5)
x º an.0+an-1.0+ . . . +a1.0+a0 º 0 (mod5) olmalı
a0 º (mod5)
O halde son basamaktaki sayı 0 ya da 5 olmalıdır.
6 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayısının 6 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod6) olmalı
6 = 2 . 3 olduğuna göre x º 0 (mod6) ise
x º 0 (mod2) ve x º 0 (mod3) olmalıdır.
O halde hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilme kuralını birlikte sağlamalıdır.
7 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod7)
101 º 3 (mod7)
102 º 2 (mod7)
103 º 6 º -1 (mod7)
104 º-3 (mod7)
105 º-2 (mod7)
106 º 1 (mod7)
x = . . . +a6.(1) + a5.(-2)+a4.(-3) + a3.(-1) + a2.2+a1.3+a0 = 0 (mod7)
+ - +
O halde sayının basamaklarının sağdan sola doğru 3’er 3’er grupladıktan sonra her grup sırasıyla birer birer (+) yada (-) işaretleri koyulduktan sonra sağdan sola doğru her basamaktaki sayıyı sırasıyla işaretleri ve “1”,”3” ve “2” sayılarıyla çarptıktan sonra bulunan toplam sayı 7’nin katı olmalıdır.
8 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 8 ile tam bölünebilmesi için
x º 0(mod8) olmalı
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod8) olmalı
101 º 2 (mod8)
102 º 4 (mod8)
103 º 0 (mod8) "n∈N+ ve n 3 için 10n º 0 (mod8)
104 º 0 (mod8)
x = an.0+an-1.0+ . . . + a3.0+a2.102+a1.10+a0 º 0 (mod8) olmalı
a2.102+a1.10+a0 = a2a1a0 º 0 (mod8) olmalı
O halde son 3 basamağındaki sayı 8 in katı olmalıdır.
9 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0 (mod9) olmalı.
10 º 1(mod9) n∈N için 10n 1(mod9)
x = an.1+an-1.1+an-2.1+ . . . +a1.1+a0 º 0 (mod9) olur
an+an-1+an-2+ . . . a1+a0 º 0 (mod9) olur.
O halde sayının rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır.
11 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod11) olmalı
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0
101 º -1 (mod11)
102 =100 º 1 (mod11)
103 º-1 (mod11)
104 º 1 (mod11)
105 º-1 (mod11)
106 º 1 (mod11)
x = an.(1)+an-1.(-1)+an-2.(1)+ . . . +a2.(1)+a1.(-1)+a0
an-an-1+an-2+ . . . +a2-a1+a0 º 0 (mod11)
O halde sayının rakamları sağdan sola doğru (+1) ve (-1) ile çarparak toplandığında bulunan sayı 11’in katı olmalıdır.
21 İle Bölünebilme
21 = 3 . 7
Hem 3 hem de 7 ile bölünebilme kurallarını birlikte sağlamalıdır.
BÖLÜNEBİLME KURALLARI
Çift Sayılar : Birler basamağı 0,2,4,6,8 olan sayılara çift sayılar denir
Tek Sayılar : Birler basamağı 1,3,5,7,9 olan sayılara tek sayılar denir
2 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 2 ye kalansız bölünebilmesi için; sayının çift olması gerekir, yani birler basamağının çift olması gerekir.
Örnek
2318 sayısı birler basamağı çift olduğu için 2 ye kalansız olarak bölünür.
3 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 3 e kalansız bölünebilmesi için;sayının rakamları toplamının 3 veya 3' ün katı olması gerekir.
Örnek
8194 sayısı 8+1+9+4 =22 olup 22 3 ün katı olmadığından 3 e kalansız olarak bölünmez.
5 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 5 e kalansız bölünebilmesi için; sayının birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir.
Örnek
760 sayısı birler basamağı 0 olduğu için 5 e kalansız olarak bölünür.
9 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 9 a kalansız bölünebilmesi için;sayının rakamları toplamının 9 veya 9 un katı olması gerekir.
Örnek
64548 sayısı 6+4+5+4+8 = 27 olup 27 9 un katı olduğundan 9 a kalansız olarak bölünür
a) 76586 sayısı 2 ye kalansız olarak bölünür mü?
b) 548 sayısı 3 e kalansız olarak bölünür mü?
c) 2387 sayısı 5 e kalansız olarak bölünür mü?
d) 8765 sayısı 9 a kalansız olarak bölünür mü?
e) 548747021 sayısı 2,3,5,9 sayılarından hangilerine kalansız olarak bölünür?
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN:
İki ya da daha fazla sayının ortak bölenlerinden en büyüğüne denir
18 ile 16 nın E.B.O.B. unu bulalım
18 in bölenleri kümesi {1, 2,3,6,9,18}
16 nın bölenleri kümesi {1, 2, 4, 8, 16 }
bu iki kümedeki ortak elemanlar ( ortak bölenler )
{ 1, 2 } dir
bu kümedeki en büyük eleman olan 2 sayısı 16 ile 18 in E.B.O.B. dur
E.B.O.B. UN KISA YOLDAN HESAPLANMASI
a) ile 48 in E.B.O.B. unu bulun
36 48 2 *
18 24 2 *
9 12 2
9 6 2
9 3 3 *
3 1 3
1
1. 42 ile 86 nın E.B.O.B. unu hesaplayın
2. 100 , 24 , 20 sayılarının E.B.O.B. unu hesaplayın
3. 72 , 54 , 36 sayılarının E.B.O.B. unu hesaplayın
4. 206 , 120 sayılarının E.B.O.B. unu hesaplayın
EN KÜÇÜK ORTAK KAT:
İki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne denir
12 ile 18 in O.K.E.K. ini bulalım
12 nin katları { 12, 24, 36, 48 .. }
18 in katları { 18, 36, 54 .. }
bunlardan ortakları {36 ,.... }
olup en küçüğü 36 olduğundan
O.K.E.K. ( 12, 18 ) = 36 dır
E.K.O.K. İN KISA YOLDAN HESAPLANMASI
12 ile 18 in E.K.O.K u
12 18 2
6 9 2
3 9 3
1 3 3
1
1. 76 ile 34 un E.K.O.K. unu hesaplayın
2. 52 , 54 , 56 sayılarının E.K.O.K. unu hesaplayın
3. 42 ile 24 sayılarının E.B.O.B. ve E.K.O.K. larını hesaplayın ve bunları çarpın
Problemler
1. 28 ve 42 litrelik iki kap zeytinyağı ile doludur. Bu yağları eşit hacimli en büyük kaplara boşaltmak istiyoruz
A) Kaplar kaçar litrelik olmalıdır?
B) Boşaltmanın tamamlanması için kaç kap gerekmektedir?
2. Bir öğretmen sınıftaki öğrencileri 6 şar, 9 ar ve 12 şer gruplara ayırdığında her seferinde 4 öğrenci arttığına göre. Bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır?
3. Boyutları 12, 15 ve 18 cm olan dikdörtgenler prizması şeklinde tuğlalardan yararlanılarak en büyük boyda küp şeklinde bir cisim yapılmak isteniyor
1. Küpün bir kenarı kaç cm olur?
2. Kaç tane tuğla gerekir?
4. 72 yaşındaki bir babanın 1 kızı ve 1 de oğlu vardır. Oğlunun yaşı 48 dir. Kızının yaşı babanın yaşı ile oğlunun yaşını bölen en büyük sayını yarısından 10 fazla olduğuna göre. Kızının yaşı nedir?
5. 52 m uzunluğunda ve 39 m genişliğinde dikdörtgenler biçimindeki bir tarla kare şeklinde eşit parçalara bölünmek isteniyor.
A) Kare şeklindeki parçalardan herbirini bir kenar uzunluğu nedir?
B) Bu tarla kaç parçaya bölünmüş olur?
6. 30 un asal çarpanlarının oluşturduğu kümenin eleman sayı nedir?
7. 30 a ve 40 a bölündüğünde 5 kalanını veren en küçük doğal sayı nedir?
ÜSLÜ İFADELER
TANIM:x bir reel sayı ve n Z olmak üzere, n tane x in çarpımını x ile gösterilir.X ifadesinde, x e taban,y ye ise üs denir.
X R ve n z için x.x.x.x.x....x=x dir.
ÜSLÜ İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ
A)tabanları eşit olan üslü iki sayı ifadeyi çarparken;üsler toplanarak verilen tabana üst olarak yazılır.
X R-{0} ve m z olmak üzere, x.x=x dir.
ÖRNEKLER
1)3.3=3 =3 2)2 . 2 . 2 =2 =2 3) (a-1) (a-1)=(a-1) =(a-1)
B)tabanları farklı,üsleri eşit olan üslü ifadeler çarpılırken;ortak üs,tabanlar çarpımına üs olarak yazılır.
x.y R-{0} ve n Z olmak üzere, x .y =(x.y) dır.
ÖRNEKLER:2 .3 =(2.3) =6 2)n Z olmak üzere , (-x) =x olduğunu gösteriniz. (-x) =(-1.x) = (-1.) =(1-) . x = x
3)(-2) =-2 4)(-3) = 3 5)(-x). (y) =(-x.y) = (xy)
ÜSLÜ İFADEİERDE BÖLME İŞLEMİ
A)Tabanları eşit olan iki ifadeyi bölerken; payın üstünden payının üssü çıkarılır verilen tabana yazılır.
X R –{0} ve m,n Z olmak üzere, x
x
ÜSLÜ BİR İFADENİN KUVVETLERİ
X R ve n,m Z için, (x )=(x ) =x dir.
ÖRNEKLER: 1) (2 ) = 2 2)(-2 ) =2 3)2 = a ve 3 =b ise,24 ifadesini a ve b türünden değerini bulunuz? 24 =(2 . 3) =2 .3 =(2 ) . 3
= a .b bulunur.
BENZER ÜSLÜ İFADELER
Benzer üslü ifadeler toplamak veya çıkarmak mümkündür.Toplama veya çıkarma işlemi yapılırken, katsayılar birbirleriyle toplanır veya çıkartılır.
a.x +b .x - c.x = (a+b – c) x dır.
ÖRNEKLER:1) 4x - 3x + 7x -5x = 84 – 3 + 7 – 5) .x =3x
2)5.3 – 4.3 + 9.3 – 6.3 =(5 – 4+9 – 69 . 3 =4.3
ÜSLÜ İFADELERİN EŞİTLİĞİ
Tabanları eşit olan iki üslü ifadenin eşit olabilmesi için, üsleri eşit olmalıdır.
a{-1,0,1} olmak üzere, a =a n=m dır.
TANIM: a bir reel gerçel sayı ve nZ+ olsun. a.a.a...a=an olacak şekilde, n tane a’nın çarpımı olan an e üslü ifadeler denir.
Örnek/ a) 3.3.3.3=34 b) c)
UYARI : a bir reel sayı ve nZ+ olmak üzere a+a+a+...+a = n.a olduğu için an ile n.a ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır. Yani an n.a dır.
Örnek / 2+2+2+2+2 = 5.2 olup aynı şekilde 2.2.2.2.2 = 25 olduğuna dikkat edilmelidir.
Not : 1-) a0 olmak şartıyla a0 = 1 dir.
2-) 00 = ifadesi tanımsızdır.
3-) 1n = 1 dir (nIR)
Örnek/ a) 80 =1 b) c) ( bu gibi örneklerde parantez içinin bilinmesi gerekir.) d) 115 =1 e) 1-15 = 1 f)
Üssün Üssü
Tanım Bir üslü ifadenin üssü üslerin çarpımına eşittir. Kural
Örnek/ a) ( 52)3 = 52.3 =56 b) c)
Not / 1- şeklindeki bir yazılım ifadesi yanlıştır. Çünkü n sayısının; m nin üssümü yoksa am nin üssümü olduğu belli değildir.
2- dir. Üslerin parantezlerle neyin üssü olduğu belirtilmelidir.
Örnek / olduğunu gösterin.
a) = 32.3 =36 = 729
b) = 32.2.2 = 38 =6561
Sonuç : a ve b değerlerinden yukarıda verilen eşitsizliğin doruluğu görülmüştür.
Negatif Üs Kavramı
Tanım a bir reel sayı olmak üzere dir. Benzer şekilde a0 ve b0 olmak üzere
Örnek / 5-1 + 5-2 = ?=
Örnek /
Bir Reel Sayının Üssü
Tanım Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. Kural a 0 an 0 dır.
Örnek / a) 42 = 16 0 b) 4-2 = c) 40 = 1 0
Tanım 1- Negatif sayıların Çift Kuvvetleri Pozitiftir. Kural a 0 ve n bir çift sayı ise an 0
Tanım 2- Negatif sayıların Tek Kuvvetleri Negatiftir.Kural a 0 ve n bir tek sayı ise an 0
Örnek / 1- (-4)2 = 16 0
Örnek / 2- (-4)3 = -64 0
Not a 0 ve n bir çift sayı ise (-a)n -an eşitsizliği doğrudur.
Örnek / 1- (-2)4 -24 Çünkü (-2)4 = (+16) ve –24 = -2.2.2.2= -16
Örnek / 2- (-5)3 + (-53) = (- 125) + (-125) = (-250)
Örnek / 3- (-5)4 + (-54) = (+625) + (-625) = 0
Örnek / 4- (-3)3 + (-52) + (-4)2 = (-27) + (-25) + (+16) = (-36)
Üslü İfadelerde Dört İşlem
1- Toplama ve Çıkarma İşlemi
Tanım Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs ve tabanlarının aynı olması gerekir
Kural : a.Xn b.Xn = (a b).Xn
Örnek / 1- 5.103 + 2.103 = (5+2).103
Örnek / 1- 5.103 - 2.103 = (5-2).103
Not m n ise am an işlemi bu haliyle yapılamaz.
Örnek / 105 + 104 = işleminde 5 4 olup düzenleme yaparak işlem tamamlanır.
1.105 = 10.104
Burdan 10.104 + 1.104 = (10+1). 104
Örnek / 55 + 54 = 5.54 + 54 = (5+1). 54
2- Çarpma ve Bölme İşlemi
Tanım Bir üslü ifadede Çarpma ve Bölme İşleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin tabanlarının ayını olması gerekir.
Kural / 1- (a.Xm) .(b.Xn) = (a.b).Xm+n
Kural 2- (a.Xm) (b.Xn) = (ab).Xm-n veya
Örnek / (2.52 ) . (3.54) = 2.3.52+4 =6.56
Örnek / (8.36) (4.32) =
Örnek /
Örnek / 15a = 3a-2 olduğuna göre 5a nın değerini bulalım.
15a = 3a-2 = (3.5)a = şeklinde yazılırsa
15a = 3a-2 = (3.5)a =
= 3a.5a =
= 32 . 3a.5 a = 3a
= 9.5a =
= 9.5a = 1
= 5a=
Üslü Denklemler
1- Tabanları Eşit Olan Denklemler:
KURAL: Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir.
a 0, a -1, a 1 olmak üzere am an mn dir
ÖRNEK/ 1- 2x 25 x5 tir.
2- 3x 81 3x 34 x4 tür.
3- 2x+8 8 olduğuna göre, x=?
2x+8 2x . 28 olup
2x . 28 8 yerine konur ise, burdan 8 23 olup
2x . 28 23
2x 23 28
2x 23-8
2x 2-5 olup burdan x -5 bulunur.
ÖRNEK / eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
ÇÖZÜM / 5x+1-(2-x) (53)x-3
5x+1-2+x 53(x-3)
52x-1 53x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır.)
2x-1 3x-9
2x –3x -9+1
-x -8
x 8
2- Üsleri eşit olan denklemler:
KURAL Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.
n tek sayı ve an bn ab dir.
n çift sayı ve an bn ab veya a -b dir.
ÖRNEK/ 1- x353 x5 tir.
2- (x+7)3(3x-11)3 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm: 33 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır. Burdan,
(x+7) (3x-11) olup parantezleri açalım
x+7 3x-11
7+11 3x-x
18 2x
x
x 9
ÖRNEK / (2X+3)4 (X-2)4 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM / 4çift sayı olduğu için
(2x+3)4 (X-2)4
2x+3 x-2 Veya 2x+3 -(x-2)
2x-x -2-3 Veya 2x+3 -x+2
x5 Veya 2x+x 2-3
3x -1
x
KURAL xn 1 şeklinde olan denklemler.
Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır.
Xn 1
ÖRNEK / 1- 18 1 dir. Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir.
2- 50 1 dir. Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir.
3- (-1)6 1 dir. Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir.
4- 53x-15 1 ise x
Çözüm: 53x-15 1 ise
3x-15 0 olmalıdır, burdan
3x 15
x 153
x 5
ÖRNEK / (5x+3)7 1 ise x değerini hesaplayın.
ÇÖZÜM: (5x+3)7 17 (171 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır.
(5x+3) 1
5x+3 1
5x 1-3
5x -2
x
ÖRNEK / (x+3)x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
ÇÖZÜM / 1. DURUM..: x+3=1x1-3
x-2------()
2. DURUM..: x-20--.--()
x2-------() Bu kök üssü sıfır yapmadığı için alınır.
3. DURUM...: X+3 -1
x-4------() Bu kök yazıldığında üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır. O halde denklemi sağlayan x değerleri : -4 , -2 , 2 dir.
ÖRNEK / işleminin sonucunu üslü ifade olarak yazalım.
ÇÖZÜM / = 6.10x
=3.5x
=
=2.2x
=21 . 2x
=21+x
KAREKÖKLÜ İFADELER
n Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = a şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.
Örnekler:
• n = 2 için a : Karekök a,
• n = 3 için a : Küpkök a,
• n = 4 için a : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
Not: Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
N Z+ olmak üzere a için a0 olmalıdır.
Örnekler
• x4 = -16 ise x R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
-16 R, -7 R fakat
x3 = -8 ise x = -8 R dir.
Soru-1
A = (x + x-3 )/(1 + 5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
Çözüm
x-3 ve 5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
x-3 0 ve 5-x 0
x3 ve 5x
3 x 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.
Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması
a = am/n dir.
Örnek:
• 8 = 23 = 23/4, -2 = (-2)1/3 tür.
Soru-2
2x = (0,5)2x-1 ise x kaçtır?
Çözüm
2x = (0,5)2x-1 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)
2x/3 = 2(-2x+1)/(2)
x/3 = (1 – 2x)/(2)
x = 8/3 dir.
Köklü İfadenin Üssünün Alınması
Tanımlı olduğu durumlarda,
(a )m = am
Örnekler:
• (-2 )4 = (-2)4 = 16
• (2 )3 = 23 = 8 dir
Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması
Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
n Z+ olmak üzere,
a , n tek sayı
an =
a , n çift sayı
Örnekler:
• 125 = 53 = 5,
• -8 = (-2)3 = -2
• 1/32 = (1/2)5 = ½
• 16 = 24 = 2 = 2
• (3 – 2)2 = 3 - 2 olur.
Burada 3 - 2 0 olduğundan,
3 - 2 = -(3 – 2) = 2 - 3
•26 = (22)3 = 4
•27/32 = (3.32)/(2.42) = 3/43/2
Soru-3
243 / 0,0048 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
243 / 0,0048 = 3.34 / 48.10-4 = 3.3 / 3.24.(10-1)4
= 3.3 / 2.10-1.3
= 3.10 / 2 = 15 tir.
Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması
N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.
a/c . b = (an.b)/(cn)
Not: n çift sayı ise a/c 0 olmalıdır.
Örnekler:
• 2.3/16 = (3.25)/(16) = 6
• x.y.1/x2y2 = x3y3/x2y2 = xy
• -1/3 . 27 = -27/34 = -1/3 tür.
Soru-4
A=(5-3)7+35 olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
5-3 0 olduğundan,
A = (5 – 3)7+35
= -(3-5)7+35
= -(3-5)2 .(7+35)
= -(14-65)(7+35)
= -2(7-35).(7+35)
= -2[72 – (35)2]
= -2.4 = -22 dir.
Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme
Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
k Z+ olmak üzere
an = an.k = an/k
Örnekler:
• 32 = 25 = 2
• 3 = 32 = 9
• -2 = -2 = -24 = -16
• (-2)6 = 26 = 26 = 2 dir.
Soru-5
x = 2 , y = 3 , ve z = 5
sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Çözüm
X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
x = 2 = 26 = 264
y = 3 = 34 = 81
z = 5 = 53 = 125 ve
1258164 olduğundan zyx tir.
Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
xa + y a – z a = (x+y-z)a gibi.
Örnekler:
• 3 + 2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
• 7 + 7 (köklerin kuvvetleri farklı)
• 35 +5 -25 = (3+2-1)5 = 25 tir.
Soru-6
48 + 12 - 27/4 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
48 + 12 - 27/4 = 3.42 + 3.22 - (3.32)/(22)
= 43 + 23 – 3/23
= (4+2-3/2)3 = 9/23 tür.
Soru-7
8 + -128 + 16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
8 + -128 + 16 = 23 + 2.(-4)3 + 24
= 2 - 42 + 2
= (1-4+1)2
= -22
Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme
Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
Tanımlı olduğu durumlarda:
a . b = a.b
a / b = a/b
Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
a . b = am . bn = am.bn
a / b = am / bn = am/bn (b0) dir.
Örnek:
• (2 . 3) / (5 ) = (2.3)/(5) = 6/5 tir.
Soru-7
2 . 16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse,
2 . 16 = 2 . 24
= 25 . 24.3
= 25 . 212 = 217
= 215 . 22 = 24 tür.
Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
1-) n m, b 0 olmak üzere, a/bm şeklindeki ifadelerde pay ve payda bn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.
a / bm = (a / bm ) . (bn-m / bn-m) = (a . bn-m) / (b) dir.
Örnekler
• a/b = (a/b) . (b/b) = (ab)/(b)
• 1/32 = (1/25) . (22/22) = 4/2
• 1 / (2.3) = [1/(2.3)].[(22.3)/(22.3)] = (4.3)/(2.3) = (4.3)/(6)
2-)a/(b-c) şeklindeki ifadelerde pay ve payda b+c ile,
a/(b+c) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b-c ile çarpılır.
(x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan
(b - c)(b + c) = (b)2 – (c)2 = b – c dir.
Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.
a/(b-c) = [a/(b-c)].[(b+c)/(b+c)] = [a(b+c)] / [b-c]
a/(b+c) = [a/(b+c)].[(b-c)/(b-c)] = [a(b-c)] / [b-c] dir.
Örnek:
• 1/(5 – 2) = [1/(5-2)].[(5+2)/(5+2)] = [5 + 2] / [(5)2 – 22] = 5 + 2
• 2/(5 + 3) = [2/(5+3)].[(5-3)/(5-3)] = [2(5-3)] / [(5)2-(3)2] = 5-3
Soru-8
3/4-7 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
3/4-7 = (3/4-7).(4+7)/(4+7)
= (34+7)/42 – (7)2 = (34+7)/9
= 4+7 dir.
Not: n Z+ olmak üzere, paydada a-b ifadesi varsa pay ve payda a+b ile,paydada a+b ifadesi varsa pay ve payda a-b ile çarpılır.
Soru-8
1/(2-1) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
1/(2-1) = [1/(2-1)].[(2+1)/(2+1)]
= [2+1]/[(2)2-11] = (2 + 1) / (2 – 1)
= [(2+1)/(2-1)].[(2-1)/(2-1)]
= (2+1)(2+1) dir.
3-) a/b - c şeklindeki ifadelerde pay ve payda b2 + bc + c2 ile çarpılır.
(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
(b - c )(b2 + bc + c2 ) = (b )3 – (c )3 = b – c dir.
Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
a / (b - c ) = [a / (b - c )].[(b2 + bc + c2 ) / (b2 + bc + c2 )]
= [a(b2 + bc + c2 )] / [b - c]
a/b + c şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b2 - bc + c2 ile çarpılır.
(x + y)(x2 - xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
(b + c )(b2 - bc + c2 ) = (b )3 + (c )3 = b + c dir.
Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
a / (b + c ) = [a / (b + c )].[(b2 - bc + c2 ) / (b2 - bc + c2 )]
= [a(b2 - bc + c2)] / [b + c]
Örnek:
• 1 / (5 - 3 ) = [1 / (5 - 3 )].[(52 + 5.3 + 32 ) / (52 + 5.3 + 32 )]
= [25 + 15 + 9 ] / [(5 )3 – (3 )3]
= (25 + 15 + 9 ) / 2
Soru-10
1 / (9 + 6 + 4) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
1/(9+6+4) = [1 / (32 + 3.2 + 22 )].[(3 - 2 )/(3 - 2 )]
= [3 - 2]/[(3)3 – (2)3
= 3 - 2 dir.
İç İçe Kökler
1-) x + 2y veya x - 2y şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığı araştırılır. Bunun için,
x = a + b
olmak üzere
y = a . b
• x + 2y = (a + b )2 = a + b
a+b a.b
• x - 2y = (a - b )2 = a - b
a+b a.b
Not: İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır.
Örnekler:
• 4 + 23 = 3 + 1 = 3 + 1
• 7 - 212 = 4 - 3 = 2 - 3 tür.
Soru-11
3 + 5 - 3 - 5 işleminin sonucu nedir?
Çözüm 1
3 + 5 - 3 - 5 = [2(3 + 5)] / 2 - [2(3 - 5)] / 2
= [(6 + 25) / 2] – [(6 - 25) / 2]
= [(5 + 1) / 2] – [(5 – 1) / 2]
= (5 + 1 - 5 + 1) / 2
= 2
Çözüm 2
Verilen ifadeyi x’e eşitleyip her iki tarafın karesini alalım
x = 3+5 - 3-5
x2 = (3+5 - 3-5 )2
x2 = (3+5 )2 +(3-5 )2-2(3+5)(3-5)
x2 = 3 + 5 + 3 - 5 - 232-(5)2
x2 = 6 - 24 x2 = 2 olur.
x = 3+5 -3-5 0 olduğundan
x = 2 dir.
Not:
a0 , b0 ve a2b olmak üzere,
a+b = [(a+a2-b )/(2)] + [(a+a2-b)/(2)
a+b = [(a+a2-b )/(2)] - [(a+a2-b)/(2)
1-) a = a dır. (m.n.t çift sayı ise a0 olmalıdır.)
Örnek:
• 2 = 2 = 2
Soru-12
222 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım.
222 = 23.22 = 220.2
= 221 = 27 = 128 dir.
3-) İç İçe Sonsuz Kökler
a)
aaa... = a
aaa... = x a.x = x
x
x = a
Örnekler:
• 888... = 8 =2
• 777... = 7 = 7 dir.
b)
a:a:a: ... = a
a:a:a: ... = x a:x = x
x x = a
şeklinde doğruluğu gösterilebilir.
Örnek:
• 8:8:8: ... = 8 = 2 dir.
c)
a+a+a+ ... = (1+1+4a) / (2) (a0)
a-a-a- ... = (-1+1+4a) / (2) (a0)
aaa ... = x ax =x
x ax = x2
(1+1+4a) / 2
şeklinde doğruluğu gösterilebilir.
Örnek:
5+5+5+ ... = x 5+x = x 5+x = x2
x x2 – x – 5 = 0
x = (1+1+4.5)/(2)
x = (1+21)/(2) dir.
Not:
a 0 olmak üzere,
a(a+1)+a(a+1)+a(a+1)+ ... = a+1
a(a+1)-a(a+1)-a(a+1)- ... = a
Örnek:
• 12+12+12+ ... = 4 (a = 3, a+1 = 4)
3.4
• 30-30-30- ... = 5 (a = 5, a+1 = 6)
6.5
ÖSS SORULARI (1988-1997)
1997/SAYISAL
Soru No: 2
(40 . 18) / 80
İşleminin sonucu kaçtır?
A)3 B)2 C)1 D)45 E)25
Çözüm
(40.18) / 80 = 9 = 3 CEVAP A
Soru No: 4
0,00256 . (0,081)-1
İşleminin sonucu kaçtır?
A)4 B)2 C)1 D)-1 E)-4
Çözüm
(0,4)4 . [(0,2)3]-1 = 0,4 . (0,2)-1
= 0,4 . (1/0,2) = (0,4)/(0,2) = 2 CEVAP B
Soru No: 25
25/64 + (1/9) – (5/12)
İşleminin sonucu kaçtır?
A)5/12 B)5/8 C)1/12 D)1/8 E)7/24
Çözüm
(5/8)2 – 2.(5/8).(1/3) + (1/3)2 = [(5/8)–(1/3)]2
= (5/8) – (1/3) = (15/8) / 24 =7/24 CEVAP E
1996/SAYISAL
Soru No: 10
0,09’un karekökü kaçtır?
A)0,081 B)0,081 C)0,81 D)0,3 E)0,03
Çözüm
0,09 = (0,3)2 = 0,3 CEVAP D
Soru No: 11
(0,48 - 0,27)/1,47
İşleminin sonucu kaçtır?
A)1/7 B)2/7 C)1 D)0,3 E)0,03
Çözüm
(3.0,16 - 3.0,9) = (0,43 – 0,33)/0,73
=(0,13)/(0,73) = 0,1/0,7 = 1/7 CEVAP A
Soru No: 12
[3 / ((3 + 22)]+[3 / (3 - 22)]
İşleminin sonucu kaçtır?
A)6 B)9 C)12 D)16 E)18
Çözüm
{[3.(3-22)]/[9-8]}+{[3.(3+22)]/[9-8]}
= [9-62]+[9+62] = 18 CEVAP E
1995/SAYISAL
Soru No: 12
9+(-4)2-(-5)2
İşleminin sonucu kaçtır?
A)0 B)1 C)2 D)10 E)11
Çözüm
3 + -4 - -5 = 3 – (-4) – [-(-5)]
= 3 + 4 – 2 = 2 CEVAP C
1994/SAYISAL
Soru No: 11
a = 6+1 ve b = 6-1 olduğuna göre (a/b)+(b/a) toplamı kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)14/5 E)29/7
Çözüm
A+b = 26 ve a.b = 5
(a/b) + (b/a) = (a2 + b2)/(ab)
= [(a+b)-2ab]/(ab) = [(26)2 – 2.5]/5
= (24-10)/5 = 14/5 CEVAP D
1992/SAYISAL
Soru No: 8
a2 = a şeklinde tanımlandığına göre,
[(-3)2 + 9 - (-9)2]/[(-3)2]
İşleminin sonucu kaçtır?
A)-9 B)-3 C)-1 D)3 E)9
Çözüm
(--3 + 3 - -9) / (-3) = (-3+3-9)/3
=-9/3 = -3 CEVAP B
1991/SAYISAL
Soru No: 13
(3.12)/(0,16 + 0,36)
İşleminin sonucu kaçtır?
A)0,6 B)0,9 C)6 D)9 E)23
Çözüm
[3.12]/[(0,4)2+(0,6)2] = (36)/(0,4+0,6)
= 6/1 = 6 CEVAP C
1990/SAYISAL
Soru No: 11
[1/(3-2)] + [1/(3+2)]
İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)6 B)3 C)2 D)3+2 E)3-2
Çözüm
[(3+2)/(9-8)]+[(3-2)/(9-8)]
= (3 + 22 + 3 - 22) = 6 CEVAP A
Soru No: 22
(-4)2 - 42 – (-2)2
İşleminin sonucu kaçtır?
A)-24 B)-16 C)-8 D)0 E)8
Çözüm
-4-4-(-8) = 4-4+8 = 8 CEVAP E
Birinci dereceden bir
bilinmeyenli denklemler
ve a 0 olmak üzere ax +b=0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x sayısına denklemin kökü, bu kökün oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir.
ax+b=0 ise sayısı denklemin köküdür.
Çözüm kümesi:
Ç= olur.
Örnekler:
a. 6x +12 =0 denkemini çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
6x+12=0 6x= -12
x= x=-2 Ç= olur.
2)-5x + 6 + x = 1 –x + 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
-5x+ 6+ x =1 –x +8
-4x + 6 = -x + 9
-4x +x = 9-6
-3x=3
x= -1 Ç=
3) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çöm: denklemde paydası eşitlenir:
4) x-{2x-[x+1-(3x-5)]} = 3 ise x kaçtır?
Çözüm:
[x+1-3x+5]
[-2x+6]
{2x+2x-6}
x-4x+6 = 3
-3x = x= 1 Sonuç: 1
5) 9(1-2x) – 5(2-5x) = 20 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
9(1-2x) – 5(2-5x) = 20
9-18x-10+25x = 20
7x-1= 20
7x = 21
x = 3
Sonuç: 3
6) x 2 x 1
----- + ----- = ----- + 1----- denkleminin çözüm kümesi nedir?
3 5 5 3
Çözüm:
x 2 x 4
----- + ----- = ----- + -----
3 5 5 3
(5) (3) (3) (5)
5x+6 3x+20
------- = ------- = 5x + 6 = 3x+20
i. 15
2x = 14 x = 7 Sonuç: 7
7) Kendisine katı eklendiğinde 72 eden sayı kaçtır?
Çözüm:
=
8) 2x+5=1 ise “x” kaçtır?
Çözüm:
2x = -4
x = -2 Sonuç = {-2}
9) Toplamları 77 olan iki sayıdan birinin 3 katı, aynı sayının 4 katıyla toplamına eşittir.Bu Sayıların Küçük Olanı Kaçtır?
Çözüm:
3x+4x = 77
7x = 77
x = 7
3x = 33 Sonuç = {33}
1. Bu denklemdeki x’ in değerini bulunuz.
Çözüm:
x = 5 Sonuç = {5}
11) “x” in değerini bulunuz.
Çözüm:
- 45 = 5x-35
5x = -10
x = -2
Sonuç = {-2}
12) “x” in değerini bulunuz.
Çözüm:
3x-5 = -20
3x = -15
x = -5 Sonuç = {-5}
13) denklemini ve koşuluyla x’i bulunuz.
Çözüm
x=-1 fakat (x 1 ve x koşulundan dolayı
Ç=Ǿdir
14) için x ’in değeri kaçtır?
Çözüm
x=3 (x 3 koşulundan dolayı )
Ç=Ǿdir
Birinci Dereceden İki
Bilinmeyenli Denklemler
olmak üzere açık önermesine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
denkleminde x ’e verilebilecek her değer için bir y değeri bulunabilir. Bulunan (x,y) ikililerinden her birine denklemin bir çözümü denir. Çözüm kümesi sonsuz elamanlıdır.
Örnekler:
1) denklemini çözüm kümesini bulup düzlemde göster.
x=0 için y=2.0-1(0,-1)
x=1 için y=2.1-1(1,1)
x=2 için y=2.2-1(2,3)
x=3 için y=2.3-1(3,5)
x için y=2x-1(y 2x –1)
İkinci Dereceden Denklemler
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
TANIMLAR :
a, b, c R ve a 0 olmak üzere ax2 + bx +c 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.
Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.
Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.
UYARI
Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır.
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ
İlk olarak ax2 + bx + c 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.
ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
1. 3x2 – 5x 0 2. x2 – x – 6 0 3. 2x2 + x – 1 0
ÇÖZÜMLER :
3x2 – 5x 0 2. x2 x 6 0 3. 2x2 x 1 0
x . (3x – 5) 0 (x 3) . ( x 2) 0 (x 1) . (2x 1) 0
x 0 V 3x – 5 0 x 3 0 V x 2 0 x 1 0 V 2x 1 0
x x 3 x 2 x 1 x
Ç { 0, } Ç {2,3} Ç {1, }
ax2 bx c 0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)
ax2 bx c 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;
ax2 bx c a a
(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı).
a 0 ise
o halde x1 ve x2= elde edilir.
Bu kökler gerçel sayı ise b2 4ac 0 olması gerekir.
TANIM :
ax2 + bx c 0 denkleminde b2 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve ile gösterilir.
Denklemin kökleri ise x1 formülleri ile bulunur.
Bu kökler kısaca, biçiminde yazılır.
İrdeleme: ax2 bx c 0 denkleminde b2 4ac iken
1. 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.
Bunlar x1 dır.
UYARI
a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise 0 dır.
2. 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir.
Bunlar dır.
0 olduğundan (ax2 bx c) ifadesi tamkare olur.
3. 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi dir.
İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)
ax2 bx c 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir. b’ Bu durumda, ’ (b’)2 ac
x1
ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.
1. x2 3x 1 0 2. 2x2 3x 10 0 3. x2 2
ÇÖZÜMLER :
8. x2 3x 1 0 2. 2x2 3x 10 0
a 1, b 3, c 1 a 2, b 3, c 10
(3)2 4(1) (1) 9 4 13 (3)2 4.2.10 9 80 71
0 olduğundan Ç dir.
x1,2
Ç
9. x2 2 3 0
a 1, b 2 , c 3
b’
’
x1,2
Ç
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:
15 ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER
P(x).Q(x) 0 P(x) 0 V Q(x) 0
ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
1. 2x3 3x2 18x 27 0 2. 3(x 4)2 48 0
ÖRNEKLER :
10) 2x3 3x2 18x 27 0 2. 3(x 4)2 48 0
x2 (2x 3) 9(2x 3) 0 3[(x 4)2 16] 0 (x 4)2 42 0
(2x 3) (x2 9) 0 (x 4) 4 0 V (x 4) 4 0
(2x 3) . (x 3) (x 3) 0 x 8 0 x 0
2x 3 0 V x 3 0 V x 3 0 x 8
x x 3 x 3 Ç {0, 8}
Ç
a. RASYONEL DENKLEMLER
0 P(x) 0 Q(x) 0
ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
(1) (2x 1) (x 4) (2x 1) (x 4)
27 4x2 2x 6x 24 2x2 7x 4
6x2 x 1 0 (2x 1) (3x 1) = 0
x x Ç
b. YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER
(DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)
ÖRNEK: x6 26x3 27 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
x3 t olsun x6 (x3)2 t2 olur.
Buradan denklem
t2 26t 27 0 biçimine dönüşür.
(t 27) . (t 1) 0
t 27 0 V t 1 0
t 27 t 1
x3 27 x3 1
x 3 x 1
Ç {3,1}
c. KÖKLÜ DENKLEMLER
n N+ ve P(x) R[x] olmak üzere
b. ifadesi x R için tanımlıdır
c. ifadesi, P(x) 0 koşulunu gerçekleyen x’ler için tanımlıdır.
Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:
c. Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.
d. Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.
e. Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.
ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
eşitliğinin sağlanması için,
x 6 0 ve x 4 0 x 4 olmalıdır.
x 6 = x2 8x 16 x2 7x 10 0
(x 5) (x 2) 0 x 5 V x 2
Ç {2}
d. ÜSLÜ DENKLEMLER
ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
dir.
(x3) (x2) 0 x 3 0 V x 2 0
x 3 x 2
Ç {2, 3}
F) MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz.
n N
ÖRNEK:
x2 |x| 2 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
x2 |x| 2 0
d. x2 (x) 2 0
e. x2 x 2 0
f. (x 2) . (x 1) 0
x 2 x 1
Ç1 {2}
x 0 |x| x dir.
g. x2 x 2 0
(x 2) (x 1) 0
x 2 V x 1
Ç2 {2}
Denklemin çözüm kümesi ise Ç Ç1 Ç2 dir. Buradan Ç = {2, 2} bulunur.
DENKLEM SİSTEMLERİ
ÖRNEK:
sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
x y 20 y 20 x, x .y 64 x . (20 x) 64
20x x2 64 x2 20x 64 0
(x 16) (x 4) 0, x1 16 V x2 4
y1 20 16 y2 20 4
y1 4 y2 16
Ç {(16, 4) , (4, 16)}
ÖRNEK:
sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
2x 3y 12
h.
i.
j.
Ç
PAREMETRELİ DENKLEMLER
İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir.
Örneğin; mx2 (m 1)x 2m 3 0 denklemindeki parametre m ; 2x2 (a b)x a . b 0 denklemindeki parametreler a ve b dir.
ÖRNEK:
(m 3)x2 2mx 3(m 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (1) ise m kaçtır?
ÇÖZÜM:
(m 3)x2 2mx 3(m 1) 0
x 1 için (m 3) (1)2 2m(1) 3(m 1) 0
m 3 2m 3m 3 0
6m 6 m 1
ÖRNEK:
mx2 2(m 1)x m 5 0 denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?
ÇÖZÜM:
x1 x2 ise 0 olmalıdır.
(b’)2 ac 0 [ (m 1)]2 m(m 5) 0
m2 2m 1 m2 5m 0 m
UYARI
İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.
ÖRNEK:
denklemlerinin çözüm kümesi eşit ise (m, n) ikilisi nedir?
ÇÖZÜM:
i. YOL : Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır.
3 / 2x2 (n 1)x m 6 0
2 / 3x2 2x 2m 1 0
3(n 1) 4 ve 3m 18 4m 2
7m 20
m
İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2 bx c 0 denkleminin diskriminantı b2 4ac ve kökleri ve idi.
Buna göre ;
a. Köklerin toplamı :
b. Köklerin çarpımı :
c. Köklerin farkı :
d. Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :
e. Köklerin karelerinin toplamı :
6. Köklerin karelerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :
7. Köklerin küplerinin toplamı :
a. Köklerinin küplerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :
UYARI
Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz.
ÖRNEK:
2x2 4x m 3 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x12 x22 4 ise m kaçtır?
ÇÖZÜM:
Denklemde a 2, b 4, c m 3 dür.
x12 x22 4
k.
16 4m 12 16
m 3
ÖRNEK:
2x2 7x –1 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Denklemin kökleri x1, x2 olsun.
İstenen bağıntı (x1 3) . (x2 3) dür.
Buna göre;
(x1 3) . (x2 3) x1x2 3x1 3x2 9
x1 . x2 3 . (x1 x2) 9
olur.
KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK
Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x x1) . (x x2) 0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x2 (x1 x2) . x (x1 . x2) 0 denklemi elde edilir.
ÖRNEK:
Kökleri 3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
ÇÖZÜM:
olduğundan denklem,
x2 (x1 x2) . x (x1 . x2) 0 x2 (1) . x (6) 0
x2 x 6 0 dır.
ÖRNEK:
Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi x1 3 dir. Bu denklem nedir?
ÇÖZÜM:
UYARI
a, b, c, p, q Q olmak üzere ax2 bx c 0 denkleminin bir kökü x1 p ise x2 p dur.
Buna göre x1 3 ise x2 3 dür.
dir.
Denklem, x2 (x1 x2)x (x1 . x2) = 0
x2 6x 7 0 olur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
1. x2 x |1x| 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
x(x1) (x1) 0
(x 1) (x 1) 0
x 1
Ç {1}
2. denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:
olsun.
t 3 V t 2
6x 3 x 3 x 3 4x 2
3. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. |x1 x2| nedir?
ÇÖZÜM:
x1 = 21 x2 5
|x1 x2| |21 5| 16
4. 3x 1 3x 2 3x 3 3x 4 768 denklemini sağlayan x değeri nedir?
ÇÖZÜM:
5. sistemini sağlayan y değeri nedir?
ÇÖZÜM:
x y z 19 (x z)2 (19 y)2
x2 z2 2xz 361 38y y2
133 y2 2y2 361 38y y2
38y 228 y 6
f. Köklerinden birisi 2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
ÇÖZÜM:
ise
x2 2 dir.
4 3 1
Denklem,
x2(x1 x2)x (x1 . x2) 0
l. x2 (4)x 1 0
m. x2 4x 1 0 olur.
7. mx2 2(m 2)x m 3 = 0 denkleminin kökleri x1, x2 dir. x1 x2 s ve x1 . x2 p olmak üzere, bu denklemin kökleri arasında m’ye bağlı olmayan bağıntı nedir?
ÇÖZÜM:
mx2 2(m 2)x m 3 = 0
bulunur.
8. 3x2 mx 6 0 denkleminde bağıntısı varsa m kaçtır?
ÇÖZÜM:
Bu denklemde,
4 x1x2 8x1 4 (2) 8x1 x1
x1 . x2 -2 . x2 2 x2 8
x1 x2
b. 6x2 11mx 10m2 0 ise nedir?
ÇÖZÜM:
2x 5m
3x 2m
(2x 5m) (3x 2m) 0 ise
c. 2x2 x m 2 = 0 denkleminin x1 ve x2 kökleri arasında bağıntısı varsa, m tam sayısı nedir?
ÇÖZÜM:
1 4m 8 5m2 20m 20
5m2 24m 27 0
(5m 9) (m 3) 0
Ç
TANIM: a, b, c reel sayı ve a# 0 olmak üzere , ax2+bx+c=0 ifadesine , x e göre düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan (eğer varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi, çözüm kümesini bulmak için yapılan işleme de denklem çözme denir.
ÖRNEK:4x2 –7x+6=0 ifadesi x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir.•Bu denklemde; a=4, b=-7 ve c=6 dır.
ÖRNEK: 2y2 –5y+1 = 0
İfadesi y ye bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir.
Bu denklemde; a=2, b=-5 ve c= 1 dir.
ÖRNEK: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
Denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a kaçtır?
ÇÖZÜM: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
(a+4)x3 + 3x2 –ax –2 = 0
Denkleminin ikinci dereceden bir denklem olması için denklemde x3 lü terim olmamalıdır.
O halde, a + 4= 0 => a= -4 olur.
KÖK BULMA
1.ax2 + bx + c =0
ifadesi çarpanlarına ayrılabiliyorsa her çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
ÖRNEK: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
Denkleminin kökleri x1 ,x2 olduğuna göre x1 + x2 toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
(x-1) (x-5) + (x-1) (x-3) = 0
(x-1) (x-5 + x-3) = 0
(x-1) (2x – 8) = 0
x-1= 0 => x1 =1 veya 2x-8= 0
=> x2 = 4 tür.
x1 + x2 = 1 + 4 = 5
ÖRNEK: 4x + 2 . 42-x –18 = 0 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: 4x + 2 . 42-x –18 = 0
4x + 2 . 42 . 4-x –18 = 0
1
4x + 32 . 4x –18 = 0
(4x)2 –18 .(4x ) + 32 = 0
-16 -2
(4x –16) . (4x –2) = 0
4x –16 = 0 => 4x = 16 => x1 = 2
1
4x –2 = 0 => 4x = 2 => x2 = 2
1 5
O halde, x1 + x2 = 2+ 2 = 2 olur.
a≠ 0
ax2 + bx + c = 0 denkleminde;
c
i) a + b + c = 0 ise köklerden biri 1, diğeri a dır.
– c
ii) b = a + c ise köklerden biri -1 , diğeri a dır.
ÖRNEK: 9×2 + 17x + 8 = 0 denkleminde;
a = 9, b = 17 , c = 8
b = a + c olduğundan bu denklemin kökleri
x1 = -1 ve x2 = – 8 dur.
9
ÖRNEK: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n = 0
ikinci derece denkleminin köklerinden biri 6 ise, bu denklemin kökleri toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n = 0 denkleminde,
a = m + 2, b = m –n + 2, c = -n ve
b = a + c olduğundan denklemin köklerinden biri -1 dir.
Diğer kök 6 olduğundan kökler toplamı
-1 + 6 = 5 olur.
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
denkleminin köklerini ∆ (diskriminant) yöntemi ile bulabiliriz.
∆ = b2 –4ac
i) ∆ < 0 ise reel kök yoktur.
ii) ∆ = 0 ise kökler eşittir. (x1 = x2)
iii) ∆ > 0 ise iki farklı reel kök vardır.
∆ > 0 olmak üzere denklemin kökleri
-b + -b
x1 = 2a ve x2 = 2a şeklinde bulunur.
ÖRNEK: x2 – 4x + m + 1 = 0 denkleminin eşit iki kökünün olması için m kaç olmalıdır?
ÇÖZÜM: Denklemin eşit iki kökün olması için ∆ = 0 olmalıdır.
∆ = (-4)2 –4 .1. (m + 1)
0 = 16 –4m = 12 –4m
m = 3 bulunur.
ÖRNEK: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0 a ≠ -1 olmak üzere
denklemin kökleri eşit olduğuna göre, a’ nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? (1998 / ÖSYS)
ÇÖZÜM: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0
denklemin kökleri eşit ise ∆ = 0 olmalıdır.
∆ = 4. (a + 7)2 –4 . 27 . (a + 1)
0 = a2 + 14a + 49 – 27a –27
a2 – 13a + 22 = 0
Bu denklemi sağlayan a değerlerinin toplamı
(-13)
a1 + a2 = – 1 = 13 olur.
a ≠ 0, ax2 + bx + c = 0 denkleminin;
i) Simetrik iki kökünün olması için b = 0 olmalıdır.
ii) Simetrik iki reel kökünün olması için,
b = 0 ve a .c > 0 olmalıdır.
ÖRNEK: ax2 – (a2 –4 )x + 4 = 0
denkleminin simetrik iki reel kökü olduğuna göre, a kaçtır?
ÇÖZÜM: ax2 – (a2 –4 )x + 4 = 0
Denkleminin simetrik iki reel kökünün olması için,
a2 –4 = 0 ve 4 .a > 0 olmalıdır.
a2 –4 = 0 => a = -2 ve a = 2 dir.
4.a < 0 => a < 0 olmalıdır. O halde a = -2 olur.
KÖKLER İLE KATSAYILAR ARASINDAKİ BAĞINTI
ax2 + bx + c = 0 ikinci derece denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
-b
1)x1 + x2 = a
c2)x1 . x2 = a
3)|x1 - x2| = |a|
1 1 x1 + x2 -b
4)x1 + x2 = x1 . x2 = c
5)X12 + x22 = (x1 + x2 )2 –2x1x2
b2 – 2ac
a2
6)1 1 x12 + x22
x12 +x22 = x12 . X22
b2 –2ac
= c2
7)x13 + x23 = (x1 + x2)3 –3x .x2(x + x2)
3abc-b3
= a3
ÖRNEK: 2x2 –5x + p2 + q2 = 0 denkleminin kökleri p ve q olduğuna göre, diskriminantı kaçtır?
ÇÖZÜM: 2x2 –5x + p2 + q2 = 0 denkleminde
a = 2, b = -5, c = p2 + q2, x1=p, x2 =q
c p2 + q2
x1 . x2 = a => p .q= 2
2pq = p2 + q2 p2 –2pq + q2 = 0
(p – q)2 = 0 ise
p – q = 0
p = q dur.
O halde, kökler eşit olduğundan ∆=0 dır.
ÖRNEK: x2 –2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre
a’ nın hangi değeri için x1 + x2 + x1 . x2 = 5 olur?
ÇÖZÜM: x2 –2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
x1 + x2 = 2 ve x1 . x2 = a dır. O halde,
x1 + x2 + x1 . x2 = 5 => 2 + a = 5 a = 3 bulunur.
ÖRNEK: x2 + (x1 + 4)x –3×2 = 0 denklemin kökleri sıfırdan farklı olan x1 ve x2 sayılarıdır.
ÇÖZÜM: x2 + (x1 + 4)x –3×2 = 0 denkleminde, a = 1, b= x1+4, c=-3×2
c x1x2 = a => x1x2 = -3×2 x1 = -3 tür.
-b
x1 + x2 = a => x1 + x2 = -x1 –4
x2 = -2×1 –4
x2 = -2(-3) –4
x2 = 2 olur.
O halde, denklemin büyük kökü x2 = 2 olur.
KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI
a ≠ 0 olmak üzere, kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem:
a . (x – x1) . (x – x2) = 0 dir. Bu denklem düzenlenirse,
x2 –(x1 + x2) . x + x1 . x2 = 0 denklemi elde edilir.
ÖRNEK: Kökleri –2 ve 3 olan ikinci dereceden denklem nedir?
ÇÖZÜM: Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
x2 –(x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 dır.
x1 = -2 ve x2 = 3 ise denklem:
x2 – (-2 + 3)x + (-2) . 3 = 0
x2 –x -6 = 0 olur.
EŞİTSİZLİK ÇÖZÜMLERİ f(x)
f(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, g(x) ≤ 0 vb. eşitsizliklerinin her birini çözebilmek için aşağıdaki basamaklar sırasıyla uygulanmalıdır:
1)Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökleri bulunur.
2)Bulunan köklerin sayı adedi incelenir.
a.Bir kökün sayı adedi tek ise, bu köke tek katlı kök denir ve sayı doğrusunda tek çizgi ile gösterilir.
b.Bir kökün sayı adedi çift ise bu köke çift katlı kök denir ve sayı doğrusunda çift çizgi ile gösterilir.
3)Bulunan kökler, sayı doğrusunda küçükten büyüğe sıralanır ve tek-çift katlı kökleri belirtilir.
4)Her bir çarpanın en büyük dereceli teriminin işareti parantezinin kuvveti ile birlikte alınarak çarpılır ve bir işaret bulunur.
5)Bulunan işaret ile sayı doğrusunun en sağından (+∞ tarafından) başlanır. Tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir ve çift katlı köklerden geçerken işaret değiştirilmez.
Böylece tablodan istenen bölgeler bulunur.
ÖRNEK: (x-1) . (3-x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
1)x-1 = 0 => x = 1 3-x = 0 => x = 3
2)x = 1 ve x = 3 birer tane olduğundan tek katlı köklerdir.
3) x -∞ 1 3 +∞
– + –
0 0
(+).(-) = (-)
Ç.K= {x 1≤ x ≤ 3, x € R}
ÖRNEK: (x+2) . (x-2)
x + 1 ≤ 0
ÇÖZÜM:
1)x + 2 = 0 => x = -2
x –2 = 0 => x = 2
x + 1 = 0 => x = -1
2)x = -2, x = 2 ve x = -1 kökleri birer tane olduğundan, tek katlı köklerdir.
3) x -∞ -2 -1 2 +∞
– + – +
0 ∞ 0
4)(+) . (+) . (+) = (+)
Ç = {x € |R : x ≤ -2 veya –1 < x ≤ 2} dir.
Eşitsizliklerde n € Z olmak üzere, (x – a)2n ya da |x - a| ifadeleri her zaman pozitif olacağından işleme alınmayabilir. Bu durumda, sadece içlerini sıfır yapan noktalar incelenmelidir.
(3 –x)2
x2 + 3x –4 ≤ 0
eşitsizliğini çözmek yerine
x2 + 3x –4 < 0
eşitsizliğini çözmek yeterlidir.
Ayrıca, (3 –x)2 = 0 olabilmesi için x = 3 olmalıdır.
x -∞ -4 1 +∞
x2 + 3x –4 + - +
İstenen eşitsizliğin çözüm kümesi ise,
Ç = (-4, 1) U {3} olur.
İçinde birden fazla eşitsizlik bulunduran ifadelere eşitsizlik sistemi denir.
Eşitsizliklerin hepsini aynı anda sağlayan değerlerin bulunduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.
eşitsizlik sisteminin çözümü için, her bir eşitsizlik ayrı ayrı çözülür ve ortak çözüm kümesi bulunur.
ÖRNEK: (x –2) (4 –x) ≤ 0
(1 –x) (5 +x) ≥ 0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM: (x-2) (4-x) = 0 => x = 2, x = 4
(1-x) (5+x) = 0 => x = 1, x = -5
Şimdide her birinin ayrı ayrı işaretini inceleyelim.
x -∞ -5 1 2 4 +∞
(x-2)(4-x) – – – + –
(1-x)(5+x) – + – – -
İşaret tablosunda görüldüğü gibi, birinci eşitsizliğin (-), ikinci eşitsizliğin (+) olduğu bölge [-5, 1] aralığıdır. O halde, çözüm kümesi Ç = [-5, 1] dir.
i)ax2 + bx + c > 0
eşitsizliğinin daima sağlanması için
a > 0 ve ∆ = b2 – 4ac <0 olmalıdır.
-∞ +∞
+
ii)ax2 + bx + c < 0
eşitsizliğinin daima sağlanması için
a < 0 ve ∆ = b2 –4ac <0 olmalıdır.
-∞ +∞
-
ÖRNEK: (m –2)x2 + (m –2)x + m –1 < 0
eşitsizliği x € R için sağlanıyor ise m nedir?
ÇÖZÜM: (m-2)x2 + (m –2 )x + m –1
a = m –2, b = m –2, c = m –1
a < 0 ve ∆ < 0 olmalıdır.
a = m –2 < 0 => m < 2 ............... 1
∆ = b2 –4ac < => (m –2)2 –4(m –2) . (m –1) < 0
(m –2) (m –2 –4m + 4) < 0
(m –2) (-3m + 2) < 0
(m –2) (-3m + 2) ifadesinin işaret tablosuna bakılırsa,
2
m -∞ 3 2 +∞
- + -
(m –2) (-3m + 2) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi m < 3 veya m > 2dir……….2
1 ve 2 yi sağlayan m değerleri m < 2 dür.
3
BİR k REEL SAYISININ İKİNCİ DERECE DENKLEMİNİN KÖKLERİYLE KARŞILAŞTIRILMASI
f(x) = ax2 + bx +c denkleminin kökleri arasında x1 < x2 ve k € R olsun.
i) x1 < k < x2 ise a . f(k) < 0 dır.
ii) k < x1 < x2 ise,
a) ∆ > 0 b) a . f(k) > 0 c) k < -b olmalıdır.
2a
iii) x1 < x2 < k ise
a) ∆ > 0
b) a . f(k) > 0 c) k > -b olmalıdır.
2a
iv) a . f(k) = 0 ise, k köklerden birine eşittir. Bu durumda aşağıdaki üç maddeye bakılır.
-b
a)k > 2a ise x1 < k = x2
-b
b)k < 2a ise k = x1 < x2
-b
c)k = 2a ise k = x1 = x2 dir olur.
ÖRNEK: x2 –(m + 1)x + m = 0 denkleminin
0 < x1 < 2 < x2 koşulunu sağlayan iki kökünün olması için m hangi aralıkta olmalıdır?
ÇÖZÜM: f(x) = x2 –(m + 1)x + m
x1 < 2 < x2 => a . f(2) < 0
=> 1 . (22 –2m –2 + m) < 0
=> -m + 2 < 0 => m > 2 dır.
ÖRNEK: (p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –2) = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 dir.
x1 < 0 < x2 , |x1| > x2 olması için p’nin alabileceği değerler nedir?
ÇÖZÜM: Denkleminin kökleri x1 < 0 < x2 , |x1| > x2 şartlarını sağladığına göre,
x1x2 < 0 ve x1 + x2 < 0 dır.
c 5(p – 2)
x1x2 = a = p + 6 < 0 ...................... (1)
-b 17(p + 1)
x1 + x2 = a = p + 6 < 0...................(2)
(p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –2) = 0
p -6 -1 2
x1x2 + - - +
x1 + x2 - + - -
Ç
Ç = (-1 , 2) dir.
ORAN,ORANTI VE YÜZDELER
Oran, Orantı Ve Özelikleri
Oran:Aynı cinsten iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.Oran’ın birimi yoktur.
Örnek:
Ahmet’in parası = 300 000 TL. = 3
Ayşe’nin parası =500 000 TL. = 5
İlkay’ın boyu = 140cm = 14 = 7
Erdal’ın boyu = 180cm =18 = 9
Orantı:2 veya daha fazla orandan oluşan eşitliklere orantı denir.
Genel olarak a = c orantıları birbirine eşitse orantı:
b d
a = c veya a:b=c:d biçiminde yazılabilir.
b d 1.terim a = c 3.terim
2.terim b d 4.terim
a = c
b d
içler dışlar
İçler(ortalar)
a:b = c:d
Dışlar(yanlar)
Orantının Özelikleri
1:Bir orantıda içler çarpımı,dışlar çarpımına eşittir.
a = c a.d = b.c 2 = 4 2.6 = 3.4
b d 3 6 12 = 12
2:Bir orantıda dışların yerleri değiştirildiğinde orantı bozulmaz.
a = c d = c 2 = 4 6 = 4 6.2 = 3.4
b d b a 3 6 3 2 12 = 12
3:Bir orantıda oranların her ikisindede payların ve paydaların yerleri değiştirilirse orantı bozulmaz.
a = c b = d 2 = 4 3 = 6 3.4 = 6.2
b d a c 3 6 2 4 12 = 12
4:Bir orantıda içlerin yerleri değiştirildiğinde orantı bozulmaz.
a = c a = b 2 = 4 2 = 3 2.6 = 3.4
b d c d 3 6 4 6 12 = 12
Örnek:
1: 5 = X 8.X = 5.24 8X = 120 X =120
8 24 8
X = 15
Orantı Çeşitleri
Doğru Orantı:İki çokluktan biri çoğalırken diğeri de aynı oranda çoğalıyorsa yada biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa böyle çokluklara doğru orantılı çokluklar denir.
Örn:
1:2 defter 1 600 000 olursa 8 defter kaç TL olur?
2 defter 1 600 000 olursa
8 defter X olur.
D.O
X = 8.1 600 000 = 6 400 000 TL.
2
2:a ile b doğru orantılıdır.a=4 iken b=20 ise a=7 iken b kaç olur?
a = k 4 = k k = 1
b 20 5
a = 1 7 = 1 35
b 5 b 5
Uyarı:Doğru orantı da içler çarpımı dışlar çarpımına eşitlenir.k sabit bir sayı olmak üzere y = k şeklinde ifade edilir. X
Ters Orantı:İki çoklukdan biri çoğalırken diğeri aynı oranda azalıyorsa yada biri azalırken diğeri aynı oranda çoğalıyorsa böyle çokluklara ters orantılı çokluklar denir.
Ters orantılı çokluklar arasında X.y = k bağlantısı vardır.
Örn:
1:Boş bir havuzu 4 musluk 9 saatte doldurduğuna göre 12 musluk kaç saatte doldurur?
4 musluk 9 saatte dol.
12 musluk X sa. Dol.
T.O
X = 4.9 X = 3 sa. dol.
12
2:X ile y ters orantılıdır.X = 9 iken y = 16 ise X = 24 iken y kaçtır?
9.16 = k 144 = k
X.y = 144 24. y =144 y = 6
Bileşik Orantı:İkiden fazla oranın eşitliğine bileşik orantı denir.
Genel olarak a = c = e = k şeklinde gösterilir.
b d f
Örn:
1:8 işçi 8 saat çalışarak 640 m kumaş dokuyorsa aynı nitelikteki 10 işçi günde 3 saat çalışarak kaç m kumaş dokur?
8 işçi 5 sa. 640 m.
10 işçi 3 sa X
D.O D.O
X = 10.3.640 X = 480 m.
8.5
2: X = 6 = 12 X ve y bulunuz?
9 y 36
X = 12 36.X = 12.9 X = 12.9 X = 3
9 36 36
6 = 12 12.y = 36.6 y = 36.6 y = 18
y 36 12
PERMÜTASYON VE OLASILIK
PERMÜTASYON AMAÇ:Permütasyonla ilgili temel kavramları kullanabilme becerisi
Olasılık Amaç:Olasılık ve olasılıkla ilgili temel kavramlar bilgisi
Planlama:Permütasyon ve olasılık kavramı
1)Permütasyon
A)Genel çarpma özelliği
B) Permütasyon
1) ”n” elemanlı bir kümenin n’li permütasyonu
2) “n”elemanlı bir kümenin r’li permütasyonu
3)Dairesel permütasyon
2)Olasılık:
A)Olay ve olasılık tanımı
B)Ayrık iki olayın olasılığı (A veya B’nin olasılığı)
C)Aynı zamanda geçekleşen bağımsız iki olayın olasılığı(A ve B’nin olasılığı)
İşleniş
1) Permütasyon ( Büyük )
a) Saymanın Temel İlkesi ( Genel Çarpma Özelliği )
ÖR: Ahmet’in iki değişik pantolonu üç değişik renk gömleği vardır.Ahmet gömlek ile pantolonunu kaç değişik biçimde giyebilir.
ÇÖZÜM: Ahmet’in değişik renk gömlekleri G1,G2,G3 ve pantolonları da P1,P2 olsun.
Ahmet bu giysileri aşağıda gösterilen biçimlerde giyebilir.
1. Giyinme => G1 P1
2. Giyinme => G1 P2
3. Giyinme => G2 P1
4. Giyinme => G2 P2
5. Giyinme => G3 P1
6. Giyinme => G3 P2 biçiminde giyebilir.
Ahmet’in giyinişi 6 değişik biçimde olmaktadır. Bunu kısaca,
Gömlek Pantolon
3 tane 2 tane
3 x 2 = 6 şeklinde buluruz.
Ardışık iki işlemden biri, a değişik yoldan yapılabiliyor. Bu yollardan herhangi biri kullanıldıktan sonra, ikinci bir işlem b değişik yoldan yapılabiliyorsa, ardışık iki işlem a x b değişik yoldan yapılabilir.
Bu özelliğe “Saymanın Temel İlkesi “ yada “ Genel Çarpma Özelliği” denir.
ÖR: A= ( 1,2,3,4,5 } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir.
Y O B
4 X 3 X 2 = 24 değişik çift sayı yazılabilir.
ÖR: A= ( 0,2,3,4,5 } kümesinin elemanlarını kullanarak 5 ile bölünebilen kaç tane 3 basamaklı tek sayı vardır.
Y O B
4 X 5 X 1 = 20 tane sayı yazılabilir.
FAKTÖRİYEL
n C N olmak üzere,
1.2.3. _ _ _ _ _ .n
çarpımına n faktöriyel denir ve
n! = n .(n-1).(n-2)._ _ _ _ _ .3.2.1 biçiminde ifade edilir.
0! = 1
1! = 1
n! = n.(n-1)! Olarak tanımlanır.
ÖR:
1) 4! = 4.3.2.1 = 24
2) 5! = 5.4.3.2.1 = 120
3) 15! 15.14.13!
13! 13! = 15.14 = 210
4) 8!+9! 8.7!+9.8.7! 7! (8+9.8)
7! 7! 7!
8+72 = 80
5) 4!. ( n – 1 )!
n! = 6 => n = ?
4! . ( n-1 )!
n! = 6 =>
( 4.3.2.1 ) . ( n-1)! = 6 . n!
24. ( n-1)! = 6.n. ( n-1 )!
n 24. ( n-1 )! n = 4
6 . ( n-1 )!
PERMÜTASYON
Bir kümenin elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine bir permütasyon denir.
ÖR:
A = ( 1,2,3 } kümesinin permütasyonlarını yazalım.
( 1,2,3 ) ( 2,3,1 )
( 1,3,2 ) ( 3,1,2 )
( 2,1,3 ) ( 3,2,1 )
n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı P(n,n) şeklinde gösterilir.P(n,n) ifadesi, n’den 1’e kadar ardışık doğal sayıların çarpımıdır.
Yani; P( n,n ) = n! ‘dir.
ÖR: “Ahmet” kelimesinin harfleri ile, 5 harfli anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir.
P ( 5,5 ) = 5!
= 5.4.3.2.1
= 120 bulunur.
“n” Elemanlı Bir kümenin “r” li Permütasyonları
“n” ve “r” birer sayma sayısı ( n > r ) olmak üzere , n elemanlı bir kümenin elemanlarının r’li sıralanışına, “ n elemanlı kümenin r’li permütasyonu “ denir.ve
P ( n,r ) şeklinde gösterilir.
P ( n,r ) permütasyonlarının sayısı,
P ( n,r ) = n! İfadesi ile bulunur.
( n-r )!
Başka bir ifadeyle P ( n,r ) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n’den geriye doğru, r tane ardışık çarpan çarpılır.
ÖR:
1) P ( 5,2 ) 5! 5.4.3! = 20
( 5-2 )! 3!
2) P ( 7,3 ) 7! 7.6.5.4! = 210
( 7-3 )! 4!
3) P ( 6,1 ) 6! 6.5! = 6
( 6-1 )! 5!
ÖR:
1) P ( 5,3 ) = 5.4.3 = 60
2) P ( 6,2 ) = 6.5.4.3.2 = 720
3) P ( 7,4 ) = 7.6.5.4 = 840
ÖR: 5. P( n,3 ) = 2. P( n+1,3 ) eşitliğinde n’nin değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
5.n ( n-1 ). ( n-2 ) = 2.( n+1 ) n . ( n-1 )
5.( n-2 ) = 2 ( n+1 )
5 n-10 = 2 n+2
5 n -2n = 2+10
3 n = 12
n = 4
Dönel (Dairesel ) Sıralama
“n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin noktaları üzerinde birbirine göre farklı dizilişlerinden her birine,”dairesel permütasyon “ denir.
“n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir daire üzerinde değişik biçimde dairesel permü-
tasyonlarının sayısı,
( n-1 )! Tanedir.
ÖR: 7 kişi, yuvarlak bir masanın etrafında kaç değişik şekilde oturabilir?
ÇÖZÜM:
Bir kişinin yeri sabit tutulursa;
Oturuş sayısı = ( 7-1 )!
= 6!
6.5.4.3.2.1 = 720 bulunur.
ÖR:
Bir okulda, 3 yönetici ile 5 öğretmen vardır. Yöneticiler yan yana olmak üzere, 8 kişi yuvarlak bir masanın etrafına oturacaklardır. Oturuş biçimi kaç farklı biçimde olabilir?
ÇÖZÜM:
Yöneticiler bir arada olacağı için, üç yöneticiyi bir kişi gibi kabul edelim.
Bu duruma göre, yuvarlak masanın etrafına 1+5 = 6 kişi oturuyormuş gibi düşünebiliriz. Ancak,3 yönetici de kendi aralarında 3! Kadar farklı biçimde otururlar.
Buna göre, farklı oturuş biçimi,
3!.( 6-1 )! = 6 .120 =720 değişik biçimde olur.
OLASILIK
Olasılık, rastlantı yada kesin olmayan olaylarla uğraşır. Rastlantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olaylardır.
Örneğin; bir parayı havaya attığımızda, yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz.
. Bir deneyde çıkan sonuçların her birine “ olay “denir. Yapılan bir deneyde, elde edile-
bilecek tüm çıkanların kümesine “örnek uzay”veya “ evrensel küme “ adı verilir. Büyük “E”harfi ile gösterilir.
. Bir olay her zaman olabiliyorsa buna “kesin olay”; hiç gerçekleşmiyorsa buna da “imkansız olay” denir.
. Bir E örnek uzayının her elemanının elde edilme olasılığı eşit ise bu E örnek uzayına “eş olumlu örnek uzay “ denir.
Eş olumlu örnek uzayına ait bir A olayının olasılığı P( A ) biçimde gösterilir.
A C E olayı için,
P( A ) = s( A)
s( E ) dir.
ÖR:
Bir zar atıldığında,üste gelen yüzünün asal sayı olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
Evrensel küme E = ( 1,2,3,4,5,6 }
Olay A = ( 2,3,5 } dir.
A olayının olasılığı : P( A ) s( A ) 3 1
s( E ) 6 2
ÖZELLİKLER
1) Bir olayın olasılığı, sıfır ile bir arasında bir sayıdır.
0 < P( A ) < 1
2) P( A ) = 0 => böyle bir olaydan söz edilemez.(İmkansız olay )
3) P( A ) = 1 => olasılık tamdır.( Kesin olay )
4) Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’e eşittir.
P( A ) + P( A‘) = 1 dir.
ÖR:
Bir torbada,aynı büyüklükte 3 kırmızı, 4 beyaz, 5 mavi bilye vardır. Torbadan rasgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
Örnek uzayın eleman sayısı,
s( E ) = 3+4+5 = 12 dir.
Beyaz bilye çekme olayı B olsun . Torbada 4 tane beyaz bilye olduğundan,
s( B ) = 4 tür. Buna göre;
P( B ) s( B ) 4 1
s( E ) 12 3 tür.
ÖR:
Bir çift zar, aynı anda masanın üzerine atılıyor. Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
Evrensel kümenin eleman sayısı,
s( E ) = 6 x 6 = 36 dır.
Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma durumları;
A = ( (1,1),( 1,2 ),( 2,1 ),( 1,4 ),( 4,1 ),( 1,6 ),( 6,1 ),( 2,3 ),( 3,2 ),( 2,5 ),( 5,2 ),( 3,4 ),( 4,3 ), ( 5,6 ),( 6,5 )}
P( A ) s( A) 15 5
s(E) 36 12 dir.
AYRIK İKİ OLAYIN BİRLEŞMELERİNİN ( A VEYA B OLAYININ ) OLASILIĞI
Ayrık olayların birleşimlerinin olasılığı, bu olayların olasılıkları toplamına eşittir.
A n B = O =>
P ( A U B ) = P ( A ) + P( B ) dir.
ÖR:
Bir torbaya aynı büyüklükte 2 kırmızı, 3 sarı,4 mavi bilye konuluyor. Torbadan rasgele bir bilye çekilirse,çıkan bilyenin kırmızı veya mavi olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM: Evrensel küme,
E = ( k1,k2,s1,s2,s3,m1,m2,m3,m4 }ve s( E ) = 9 dur.
Kırmızı bilyeler = A = ( k1,k2 }
Mavi bilyeler = B = ( m1,m2,m3,m4 }
A n B = O dir. Buna göre,
P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) yazılır.
P ( A U B ) = 2 4 6 2
9 9 9 3 bulunur.
AYRIK OLMAYAN İKİ OLAYIN BİRLEŞİMLERİNİN (A VEYA B OLAYININ )
OLASILIĞI
Ayrık olmayan iki olayın birleşimlerinin olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıkları toplamından kesişimlerinin olasılığının farkına eşittir.
A n B = O => ,
P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A n B ) dir.
ÖR:
Bir torbaya 1’den 9’a kadar numaralanmış aynı büyüklük ve özellikte 9 top konuyor. Torbadan rasgele bir top çekiliyor. 4’ten büyük veya tek numaralı bir topun çıkma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:Evrensel küme
E = ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
s( E ) = 9 dur.
Tek numaralı bilyenin çıkması olayı;
A = ( 1,3,5,7,9 }, s( A ) = 5 ’tir.
4 ten büyük numaralı bilyenin çıkması olayı;
B = ( 5,6,7,8,9 }, s ( B ) = 5’tir.
A n B = (5,7,9 }, s ( A n B ) = 3’tür.
P( A ) = 5 P ( B ) = 5 P( A n B) = 3
9 9 9 dur.
Buna göre,
P( A u B ) = P( A ) + P( B )- P( A n B )
= 5 + 5 – 3
9 9 9
= 7
9 olur.
BAĞIMSIZ OLAYLARIN BİRLİKTE OLMA ( A VE B OLAYININ ) OLASILIĞI
İki veya daha çok olayın gerçekleşmeleri birbirine bağlı değilse böyle olaylara “ bağımsız olaylar” denir.
Bağımsız olayların birlikte olma olasılığı bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.
P( A ve B ) = P( A n B ) = P( A ) . P( B ) dir.
ÖR: Bir okulun birinci sınıfında 12 erkek ve 8 kız, ikinci sınıfında 6 erkek ve 12 kız öğrenci vardır. Her iki sınıftan da rasgele seçilen birer öğrencinin ikisinin de kız öğrenci olma olasılığı nedir?
I. sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı A =>
P( A) = s( A ) 8 2
s( E ) 20 5 tir.
II. sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı B =>
P( B ) = s( B) 12 2
s( E ) 18 3 tür.
P( A n B ) = P( A ) . P( B )
= 2 . 2 4
5 3 15 olur.
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE
BİNOM AÇILIMI
SAYMANIN TEMEL KURALLARI
Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.
s(A)= m , s(B)= n ve A ile B’nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı
s(A) + s(B)= m+ n’ dir.
O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( ya bir bay veya bir bayan seçilecek )
Çözüm : 5 bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.
Çarpma Kuralı : n bir sayma sayısı olmak üzere a1, a2, a3, ….., an ile gösterilen n tane nesne için ( a1 , a2 )’ ye sıralı ikili, ( a1 , a2 , a3 )’e sıralı üçlü … ( a1 , a2 , a3 , … , an )’e sıralı n’li denir. Sıralı ikililerin kümesini A2 , Sıralı üçlülerin kümesini A3 , Sıralı dörtlülerin kümesini A4 …. şeklinde gösterelim.
A1 , A2 , A3 , … , Ar kümelerinin elemanlarının sayısı n1 , n2 , n3 , … , nr olsun. Bu durumda s ( A1.A2.A3… Ar )= s(A1 ). s(A2 ). s(A3 )… s(Ar ) = n1.n2.n3 … nr olur.
Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklıyalım : iki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( hem bir bay hem de bir bayan seçilecek )
Çözüm : 5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve FAKTÖRİYEL
Tanım: 1’den n’e kadar olan tamsayıların çarpımına “n faktöriyle” denir ve n! Şeklinde gösterilir.
1.2.3…..n = n!
0!=1
1!=1
2!=1.2 = 2
3!=1.2.3.= 6
4!=1.2.3.4 = 24
Uyarı : n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
Yani 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!
9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.5.5! gibi.
Örnek: 15! / 13! =?
Çözüm : 15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. 15! = 15.14. 13! olur.
15! / 13! = 15.14. 13! / 13! = 15.14 bulunur.
Örnek: n! / (n – 2 )! =?
Çözüm : n ve n – 2 arasında n sayısı n-2 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. n! = n.(n – 1 ). (n – 2 )! olur.
n! / (n – 2 )! = n.(n – 1 ). (n – 2 )! / (n – 2 )! = n.(n – 1 ) bulunur.
Kural : n tane eşyayı n tane yere n! kadar farklı şekilde dizeriz.
Örnek: 6 tane ampul 6 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir?
Çözüm : Açıklayıcı olması için ampüllere A , B , C ve D , yerlere 1 , 2 , 3 ve 4 diyelim. A ‘ dan başlayarak ampülleri takalım. A ampülü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampülünün takılması için 4 yol var. A ampülünü taktıktan sonra 3 ampül ve üç yer kalır. B ampülü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampülünün takılması için 3 yol var. A ve B ampülünü taktıktan sonra 2 ampül ve 2 yer kalır. C ampülü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampülünün takılması için 2 yol var. A , B ve C ampülünü taktıktan sonra 1 ampül ve 1 yer kalır. D ampülü 1 yere takılabilir. Yani D ampülünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına göre bu 4 ampül yolların çarpımı kadar farklı şekilde takılabilir.
Yani 4.3.2.1 = 4! = 24 değişik takma şekli vardır.
1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir.
Ödev : Aşağıdaki sadeleştirmeleri yapınız.
1. (n-2)! (n+1)! / n!. (n – 1)!
2. n! . (n-1)! / (n – 2 )! .(n+ 1)!
3. (n+ 2)! (n+1)! (n-2)! / n! (n-3)! (n+2)!
Örnek: Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.
5. Kaç farklı şekilde dizilebilir?
6. Aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
7. Fizik kitapları yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
8. Belli iki kitap yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
9. Kenarlara fizik kitabı gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
Çözüm :
a) Rafa kitapları soldan sağa doğru dizdiğimizi düşünelim 1. sıraya dizilecek kitap 8 farklı kitap koyabiliriz yani 8 yolla, 1.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 2.sıraya dizilecek kitap diğer 7 kitap arasından biri olacağı için 7 yolla, 1.sıraya 1 kitap ve 2.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 3. sıraya dizilecek kitap diğer 6 kitap arasından biri olacağı için 6 yolla,… bu şekilde her seferinde 1 kitap azalır. 8.sıraya dizilecek kitap 1 tane kaldığından 1 yolla belirlenir.Buna göre, bu 8 kitabın bir rafa yanyana dizilişi 8.7.6. 5. 4. 3. 2. .1= 8! yolla belirlenebilir.
1. Matematik kitapları 1 kitap, Fizik kitapları da 1 kitap gibi düşünülürse, bunların yanyana dizilişi 2! yolla olur. (matematik kitapları sağda fizik kitapları solda veya matematik kitapları solda fizik kitapları sağda ). 5 Matematik kitabının kendi arasındaki dizilişi 5! yolla olur. 3 fizik kitabının kendi arasındaki dizilişi 3! yolla olur.Buna göre matematik kitapları ve fizik kitapları, aynı dersin kitapları yanyana gelmek şartıyla 2!.3!.5! yolla dizilebilir.
1. Fizik kitapları yanyana gelince 1 kitap gibi olur. Fizik kitaplarını 1 kitap gibi düşünelim. Bu durumda 6 kitap varmış gibi düşünülebilir. Bu 6 kitabın 6! farklı dizilişi vardır. Fizik kitapları kendi arasındaki dizilişi 3! yolla , 5 matematik ve 3 fizik kitabı, fizik kitapları yanyana gelmek şartıyla 6!.3! yolla dizilebilir.
1. 8 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B’yi bir kitap gibi düşünelim. Bu durumda 7 kitap olduğu düşünülebilir. Bunların yanyana dizilişi 7! yolla yapılabilir. A ve B kitaplarının kendi aralarındaki dizilişi 2! olduğu için, 8 kitap; belli ikisi yan yana gelmek şartıyla 7!.2! yolla dizilebilir.
e) 1. Sıraya ve 8. Sıraya fizik kitabı 2.,3., ….., 7. sıralara diğer 6 kitap dizilirse uygun diziliş gerçekleşir. Buna göre, 1. sıraya gelecek fizik kitabı 3 fizik kitabı arasında 3 yolla, (1.sıraya gelecek fizik kitabı belirlendikten sonra) 8. sıraya gelecek fizik kitabı diğer iki fizik kitabı arasından 2 yolla belirlenebilir. Diğer 6 kitabın dizilişi 6! Yolla belirlenebilir. O halde 8 kitap kenarlara fizik kitabı gelmek şartıyla, 3.2.6! =3!.6! yolla dizilebilir.
PERMÜTASYON :
Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere , n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r’ lilerine A kümesinin r’ li permütasyonları denir.
n elemanlı A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı P (n,r) = n! / (n-r)! formülü ile bulunur.
Örnek: Farklı renkte 7 mendilin 3’ ü, bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde verilebilir?
Çözüm : A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayısı 7 ' dir. n = 7 , üç mendil dağıtılacak. r = 3 olur. Bu mendiller ;
P( 7, 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7.6.5.4! / 4! = 7.6.5 = 210 farklı şekilde dağıtılabilir.
Uyarı :
1. n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı,
Yani P(n,n) = n.(n-1)......1 = n!’ dir.
ii. n elemanlı bir kümenin 1’ li permütasyonlarının sayısı, P (n,1) = n’dir.
iii. Permütasyonla çözülebilen problemlerin çarpmanın kuralıyla da çözülebileceğine ; ancak, çarpma kuralıyla çözülebilen her problemin permütasyonla çözülemiyeceğine dikkat ediniz.
Örnek: 5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır.
1. Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
2. Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
3. Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm :
1. 8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır.
2. Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz konusu olur. 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır, ayrıca bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır. Buna göre bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6!. 3! farklı şekilde sıralanabilir.
3. Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların 3’ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6!. 3! Olduğu için bayanların 3’ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı, 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.
Dönel (dairesel) sıralama :
Tanım : n tane farklı elemanındaire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yanyana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur.
Örnek: 7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır.
1. Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
2. Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?
3. Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?
Çözüm :
1. 7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir.
2. Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir.
3. Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturması sözkonusu olur. 6 kişi yuvarlak masa etrafında (6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir. Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir. Buna göre heyet, başkan ve yardımcı yan yana gelmek şartıyla, 5!. 2! farklı şekilde oturabilir.
Tekrarlı permütasyonlar :
Tanım : n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ......., nr tanesi de r. çeşitten olsun.
n= n1+ n2+ ........... + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n’li permütasyonlarının sayısı,
(n1 ,n2 , ..., nr ) = n! / n1!.n2!...nr ‘ dir.
Örnek: “ BABACAN” sözcüğünün harfleriyle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm : 2 tane B harfi olduğu için n1 = 2
3 tane A harfi olduğu için n2 = 3,
1 tane C harfi olduğu için n3 = 1 ve bir tane N harfi olduğu için
n4 = 1 olsun. Buna göre farklı sözcüklerin sayısı,
(2,3,1,1) = 7! / 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 / 2.1.3.2.1.1 = 420 ‘ dir.
KOMBİNASYON (KOMBİNEZON)
Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak şartıyla n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r ’ li kombinasyonu denir.
n elemanlı kümenin r’li kombinasyonlarının sayısı, K(n,r), C(n,r), C nr ya da
( nr ) ile gösterilir. Burada C (n,r) veya ( nr ) gösterimleri kullanılacaktır.
n elemanlı kümenin r ' li kombinasyonlarının sayısı,
C(n,r) = ( nr ) = n! / r! . (n-r)! formülü ile bulunur.
UYARI : Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme sözkonusudur.
1. ( nx ) = ( ny ) ise x = y veya x + y = n olur.
2. ( n0 ) = 1
3. ( n1 ) = n
4. ( nn ) = 1
Örnek: Ali ve Veli’nin de aralarında bulunduğu 6 kişi arasından, aralarında Ali’nin bulunduğu ve Veli’nin bulunmadığı 4 kişilik grup kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm : Ali ve Veli arasından Ali seçilir, Veli seçilmez ve diğer 4 kişi arasından 3 kişi seçilirse istenen şart sağlanır. Buna göre, Veli seçme dışıdır. Ali’ yi mutlaka seçeceğiz ve Veliyi dışarda bırakacağımız için seçmeye katılacak 6 - 2 = 4 kişi kalır. Bu 4 kişi arasından 3 kişinin seçimi C (4,3) ile bulunur.
C (4,3) = 4! / (4-3)!. 3! = 4.3.2.1 / 1.3.2.1 = 4’ tür.
BİNOM AÇILIMI
x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla
(x+y) n = C (n,0) xn + C (n,1) xn-1y+C (n,2) xn-2y2+........ .......+C (n,r)xn-ryr+.....+C (n,n)yn
ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.
Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.
1 ...............................(x+y)0
1 1 ...........................(x+y)1
1 2 1 ......................(x+y)2
1 3 3 1 ...................(x+y)3
1 4 6 4 1 ...............(x+y)4
Sonuçlar :
1. Açılımda n+1 tane terim vardır.
2. Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan C (n,r) xn-r yr’ de terimi oluşturan xn-r çarpanı ile yr çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.
3. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x = 1 ve y = 1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = 2n
olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 2 n olduğunu hatırlayınız. Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.
4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim ,
C(n,r) xn-r yr ‘dir.
3. (x+y) 2n açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, C(2n,n) xnyn ‘dir.
Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.
Kümenin Eleman Sayısı:
s(A)=0...........................................................1
s(A)=1........................................................1.....1
s(A)=2...................................................1.....2.....1
s(A)=3..............................................1.....3.....3.....1
s(A)=4..........................................1.....4.....6.....4.....1
s(A)=5......................................1.....5.....10....10.....5....1 ...
Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.
Örneğin; s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1
s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane
s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin sayısını gösterir.
Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)
4 elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)
Binom Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.
(a+b)5=?
Katsayılar 1 5 10 10 5 1
A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6
(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
*(5x-3y)2=?
Katsayılar 1 2 1
5x’in kuvvetleri 25x2 5x 1
-3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2
Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir.
AÇILAR
A)Açı
Aynı doğru üzerinde olmayan, başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşim kümesine AÇI denir.
Açıyı oluşturan iki ışının kesişim kümesine DIŞ BÖLGE
AÇININ KÖŞESİ, bu ışınlara ise AÇININ KOLLARI
denir. İÇ BÖLGE
Açılar üç şekilde okunur;
1)Işınların nokta adları alınarak:
(ABC)açısı=(CBA)açısı
2)Sadece başlangıç noktası alınarak:
(B)açısı şeklinde.
Bir açı, bulunduğu bölgeyi üç bölgeye ayırır;
1.Açının Kendisi
2.Açının Dış Bölgesi
3.Açının İç Bölgesi
Açı ölçüsü DERECEDİR. Açıların ölçüsünü bulmak için AÇI ÖLÇER veya İLETKİ kullanılır.
B)Özel Açılar
1)Dar Açı:Ölçüsü 0º `den büyük ve 90º`den küçük açılara DAR AÇI denir.
2)Dik Açı:Ölçüsü 90º olan açıya DİK AÇI denir.
3)Geniş Açı:Ölçüsü 90º`den büyük 180º`den küçük olan açıya GENİŞ AÇI demir.
4)Doğru Açı:Ölçüsü 180º olan açıya DOĞRU AÇI denir.
5)Tam Açı:Ölçüsü 360º olan açıya TAM AÇI denir.
6)Tümler Açı:İki açının ölçüleri toplamı 90º olan açıya TÜMLER AÇI denir.
7)Bütünler Açı:İki açının ölçüleri toplamı 180º ise bu açılara BÜTÜNLER AÇI denir.
8)Bir Noktada Kesişen İki Doğrunun Oluşturduğu Açılar:
a)Komşu Açılar:Başlangıç noktaları aynı iki veya daha fazla açıya KOMŞU AÇILAR denir.
b)Komşu Tümler Açılar: Başlangıç noktaları aynı, ölçüleri toplamı 90º olan iki farklı açıya KOMŞU TÜMLER AÇILAR denir.
c)Komşu Bütünler Açılar:Başlangıç noktaları aynı, ölçüleri toplamı 180º olan açıya KOMŞU BÜTÜNLER AÇILAR denir.
d)Ters Açılar:Köşeleri ortak ve kenarları birbirine zıt ışınları olan iki açıya TERS AÇI denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
9)Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar
a)Yöndeş Açılar:Şekildeki A ve F, D ve G, E ve C, B ve H gibi
konumlanan açılara YÖNDEŞ AÇILAR denir. Yöndeş açılar C A
birbirine eşittir. D B
E F
b)Ters Açılar:Köşeleri ortak ve kenarları birbirine zıt ışınları G H
olan iki açıya TERS AÇI denir. Ters açıların ölçüleri birbirine
eşittir.
c)Dış Ters Açılar:Şekildeki G ve A, H ve C açıları gibi konumlanan açılara DIŞ TERS AÇILAR denir. Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
d)İç Ters Açılar:Şekildeki B ve E, D ve F açıları gibi konumlanan açılara İÇ TERS AÇILAR denir.
e)Karşı Konumlu Açılar:Şekildeki B ve F,E ve D açıları gibi konumlanan açılara KARŞI KONUMLU AÇILAR denir. Karşı konumlu açıların toplamı 180º`dir.
C)Açı Ortay
Bir açının kollarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların belirttiği şekle AÇI ORTAY denir. Açı ortay açıyı iki eş açıya ayırır. Açı ortay üzerindeki her nokta açının kollarından eşit uzaklıktadır.
ÜÇGENLER
A)Üçgen
Bir doğru üzerinde olmayan (doğrusal olmayan) A,B,C gibi üç noktanın birleşiminden oluşan kapalı şekle ÜÇGEN denir.
(ABC Üçgeni)=[AB]U[AC]U[CB] DIŞ
BÖLGE
Bir üçgen noktalar kümesidir ve içinde bulunduğu İÇ
düzlemi üç ayrı noktalar kümesine ayırır. Bunlar; BÖLGE
a)Üçgenin İçinde Kalan Noktalar Kümesi
b)Üçgenin Kendisi
c)Üçgenin Dışında Kalan Noktalar Kümesi
B)Bir Üçgenin Temel Elemanları
1.Üçgenin Kenarları:[BC],[AC},[AB] doğru parçalarına “Üçgenin Kenarları” denir. Kenar uzunlukları karşılarındaki açıların kenarlarıyla adlandırılırlar.
2.Üçgenin İç Açıları:Üçgenin iki kenarının oluşturduğu her bir açı “Üçgenin İç Açısı” olarak adlandırılır. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180º`dir.
3.Üçgenin Dış Açıları:Üçgenin iç açılarının komşu bütünleri olan açılara “Üçgenin Dış Açıları” denir. Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bir üçgenin iç açısıyla dış açısının toplamı 180º`dir. Bir üçgenin dış açıları toplamı ise 360º`dir.
C)Bir Üçgenin Yardımcı Elemanları
1.Üçgenin Yüksekliği:Üçgenin bir köşesinden karşı tarafa indirilen, köşe ile kenar arasında aklan doğru parçasına “Üçgenin Yüksekliği” denir.”H” ile gösterilir.
2.Üçgenin Kenar Ortayları:Üçgenin bir köşe ile bu köşenin karşısındaki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasına “Üçgenin Kenar Ortayı” denir. “V” ile gösterilir.
3.Üçgenin Açı Ortayı:Üçgenin açılarını iki eş açıya bölen doğruların,köşe ile kenar arasında kalan doğru parçasına “ÜÇGENİN AÇI ORTAYI” denir. ” N” ile gösterilir.
D)Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağlantılar
Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenar uzunluğundan büyük; iki kenar uzunluğunun farkı, üçüncü kenarı uzunluğunda küçüktür.
E)Üçgenin Açıları Arasındaki Bağlantılar
Bir üçgende, bir köşedeki iç açı ile diş açının toplamı 180º`dir.
Bir üçgende, bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
F)Üçgenin Kenar Uzunluklar ve Açıları Arasındaki Bağlantılar
Bir üçgende ölçüsü büyük olan kenar karşısında büyük açı, küçük olan kenar karşısında küçük kenar vardır.
G)Üçgenin Çeşitleri
1.Kenarlarına Göre Üçgenler
a)Çeşit Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının hepsi farklıysa bu üçgene “Çeşit Kenar Üçgen” denir.
b)İkiz Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının iki tanesi eşit olan üçgene “İkiz Kenar Üçgen” denir. Bir ikizkenar üçgenin, taban açıların ölçüleri birbirine eşittir.
c)Eşkenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının hepsi eşit olan üçgene “Eşkenar Üçgen” denir. Bir eşkenar üçgenin iç açıları 60 `dir.
2.Açılarına Göre Üçgenler
a)Dar Açılı Üçgen:Üçgenin açılarından her birinin ölçüsü 90º`den küçük olan üçgene “Dar Açılı Üçgen” denir.
b)Geniş Açılı Üçgen:Bir açısı geniş açı olan üçgene “Geniş Açılı Üçgen” denir.
c)Dik Açılı Üçgen:Açılarından birisi dik açı olan üçgene “Dik Açılı Üçgen” denir.
H)Üçgenin Alanını ve Çevresini Bulma
Üçgenin çevresini bulabilmek için kenarlar toplanır.
Ç = a + b + c
Üçgenin alanını bulmak için yükseklikle kenar çarpılır ve ikiye bölünür.
h x a h x b h x c
A= ------- = ------- = -------
2 2 2
KONUYLA İLGİLİ ON TÜRKÇE ON İNGİLİZCE SORU ÇÖZÜMÜ
A)Türkçe Sorular
1)Tepe açısı 58º olan bir ikiz kenar üçgenin taban açılarından birinin ölçüsünü yazın.
Bir üçgenin iç açıların toplamı 180º ise ve üçgenimiz ikiz kenar üçgen ise;
Taban açısı+Taban açısı+Tepe açısı=180º
2 Taban açısı+58º=180º
2 Taban açısı=180º-58º
2 Taban açısı=122º
Taban açısı=61º olur.
2) Yandaki üçgenin, taban açılarından biri 78º,tepe açısı ise 22º ise öbür açıyı bulunuz.
22˚ Üçgenin iç açıları toplamı=180º
22º+78º+xº=180º
100º+xº =180º
x =80º
78˚ x˚
3)İki komşu bütünler açının ölçüleri ardışık tek sayı ise bu açıların farkı kaç derecedir?
2x+1 , 2x+3 Ardışık Tek Sayılar 180˚ Bütünler Açı
2x+1+2x+3=180˚
4x+4=180˚ 2x+1= 44x2+1 89˚
4x=180˚-4˚
4x=176˚ 2x+3= 44x2+3 91˚
x=44˚
4)Yandaki şekilde harflerle belirtilen açıları, hangi açının özelliğiyle 130˚ 50˚
bulduğunuzu belirterek yazınız. A B
A=50ºÇünkü 50˚ açısıyla ters açı konumundadırlar. C
B=130º Çünkü 130˚ açısıyla ters açı konumundadırlar. D E
C=50˚Çünkü A açısıyla iç ters açı konumundalar.
D=50˚Çünkü A açısıyla yöndeş açı konumundalar.
E=130˚Çünkü 130˚ açısıyla dış ters açı konumundalar .
5)Bir üçgen tarlanın ölçüleri 10x20x30 km`dir. Çiftçi tarlanın çevresini üç kat telle sarmak isterse ne kadar tel almalıdır?
Alınacak Tel=Üçgenin Çevresix3
Alınacak Tel=(30+20+10)x3
Alınacak Tel=60x3
Alınacak Tel=180 km tel alınması gerekir.
6)Bir üçgenin kenarı 5 cm, yüksekliği ise 4 cm ise bu üçgenin alanı kaç cm ’dir?
Üçgenin alanı=(5x4)/2
Üçgenin Alanı=20/2
Üçgenin Alanı=10cm²‘dir.
7)Bir eşkenar, çeşitkenar, ikizkenar üçgenin çevrelerini nasıl bulurdunuz?(Formülleri)
Eşkenar Üçgen=3a
Çeşitkenar Üçgen=a+b+c
İkizkenar Üçgen=2a+b
3. b / a = d / c (Oranlar yer değiştirebilirler . )
4. a : p / b : p = c : t / d : t (p 0 , t 0 )(Oranlar sadeleştirilebilir . )
5. a . p / b . p = c . t / d . t (p 0 , t 0 )(Oranlar genişletilebilir . )
6. a / b = c / d orantısı için ; d ye dördüncü orantılı denir .
a) a : b = c : d = k orantısı için k ‘ye orantı sabiti denir.
a = b.k , b = a : k , c = d.k , d = c : k
1. (a + b) : b = (c+d) :d = k+1 ve (a – b) : b = (c-d) :d = k-1
1. (a . c) / (b . d) = k2
Örnek:
a c 1 a + b d – c
b d 2 b c
A) 3/2 B)2 C) 4/3 D) 5/2
Çözüm :
a + b d – c a b d c
* = + * +
b c b b c c
a d
= + 1 * + 1
b c
1 2
= + 1 * – 1
2 1
3
= olur . Cevap A dır .
2
B – GEOMETRİK ORTA :
x , a ve b pozitif reel sayılar olmak üzere ;
a x
= şartına uyan , x sayısı varsa , bu x sayısına a ile b nin.
x a
geometrik ortası veya orta orantılısı adı verilir .
G.O. = x = a . b
Örnek :
3 ile 48 sayılarının geometrik ortası kaçtır ?
A ) 12 B ) 3 2 C ) 2 3 D ) 1
Çözüm :
G . O . = 3 * 48
= 144
= 12
=2 3 olur . Cevap C dır .
C – DOĞRU ORANTI :
Orantılı iki ifadeden biri artarken diğeri de orantılı olarak artıyor , biri artarken diğeri de orantılı olarak azalıyorsa , bu iki ifade doğru orantılıdır denir .
y
y ile x doğru orantılı ise , = k ( k R + ) dır .
x
Burada , y = k x doğru orantı denklemidir .
2 k y = k x
k
0 x
1 2
Doğru orantılı y ve x ’in grafiğidir.
Örnek :
a ve b birer doğal sayı olmak üzere ; a, b2 ile doğru orantılıdır. a = 2 iken b = 3 olduğuna göre , a = 8 iken b = kaçtır ?
A) 4 B)5 C)6 D)8
Çözüm :
a / b2 = k ‘dır. Verilenlere göre 2 / 32 = k yazılır.
k ‘nın bu değeri denklemde yerine yazılırsa ;
a 2
olur.
b2 9
Buna göre ,
a = 8 iken
8 2
b2 9
b2 = 36
b = 6 olur.
D – TERS ORANTI
Orantılı iki ifadeden biri artarken diğeri ters orantılı olarak azalıyorsa bu iki ifade ters orantılıdır.
y ile x ters orantılı ise , y . x = k dır.
k
Buradan , y = ters orantı denklemidir.
x
2 k
k y . x = k
0 x
1 2
Ters orantılı y ve x ’in grafiğidir.
Örnek :
Bir işi 8 işçi 15 günde bitirdiğine göre , aynı işi kaç işçi 10 günde bitirir ?
A) 10 B)11 C)12 D)13
Çözüm :
Gün sayısı azaldıkça işçi sayısı da artar. Yani ters orantılıdır.
8 işçi 15 gün
x işçi 10 gün
8 . 15 = x . 10 ise
x = 12 olur.
Cevap C ‘dir.
E- BİLEŞİK ORANTI
A) x , y ve sırası ile a , b ve c ile doğru orantılı ise ,
x : y : z = a : b : c veya x / a = y / b = z / c dır .
2 x , y ve z sırası ile a, b ve c ile ters orantılı ise ,
ax = bx = cz veya x / 1 / a = y / 1 / b = z / 1 / c dır .
a) x , y ile doğru z ile ters orantılı ise ,
x . z / y = k dır .
1256 Doğru , ters ve bileşik orantılı ile ilgili işçi tarzındaki sorularda şu yol takip edilir .
1. yapılan iş 2.yapılan iş
=
1.işle ilgili verilenlerin çarpımı 2.işle ilgili verilenlerin çarpımı
Örnek:
a , b ile doğru orantılı c ile ters orantılıdır . a = 8 ve b = 6 iken c = 9 olduğuna göre , a = 6 ve b = 5 iken , c kaç olur ?
A ) 6 B ) 7 C ) 10 D ) 11
Çözüm:
• Doğru orantılı olanlar bölünür , ters orantılı olanlar çarpılır .
a / b . c = k olur . Dolayısıyla ,
8 / 6 . 9 = 6 / 5 c 72 / 6 = 6c / 5 12 / 1 = 6c / 5
6c = 60 c = 10 olur .
Cevap C
SORULAR VE CEVAPLAR
• a b c a + 3b
= = ise , ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
3 4 7 2b – c
A ) 12 B ) 15 C ) 21 D ) 28
Çözüm :
a b c
= = = k ise
3 4 7
a=3k
b=4k
c=7k bulunur .
a+3b 3k+3.4k 3k+12k
= =
2b-c 2.4k-7k 8k – 7k
15k
=
k
= 15 olur . Cevap B
2. 15 araba 8 er sefer yaparak 240 m3 toprağı taşıyor . Aynı şartlarda 240 m3 toprak , 10 araba tarafından taşınsaydı , her araba kaç sefer yapardı ?
A ) 10 B ) 12 C ) 16 D ) 20
Çözüm :
pratik formülümüzden ,
240 240
=
15.8 10.x
120 = 10x
X = 12 bulunur . Cevap B
3. Bir eczacı a , b ve c maddelerini karıştırarak 170 gramlık bir ilaç yapacaktır . Bu maddelerin ağırlıklarına göre oranları a 5 b 2
= ve = ise yapılacak ilaca kaç
b 2 c 3
gram b maddesi karıştırılacaktır ?
A ) 17 B ) 34 C ) 51 D ) 85
Çözüm :
a 5k
= a = 5k
b 2k
ise b = 2k
b 2k
= c= 3k bulunur .
c 3k
a + b + c = 170
5k + 2k + 3k = 170
10 k = 170
k = 17 dir .
b= 2k olduğundan
b= 2 . 17
b = 34 gram olur . Cevap B
4. 3 ve 2 ile orantılı pozitif iki tam sayının kareleri toplamı 52 ise , bu iki sayının toplamı kaçtır ?
A ) 7 B ) 8 C ) 9 D ) 10
Çözüm :
a b
= = k
3 2
a2 b2 a2 + b2
= =k2 ise = k2
9 4 9+4
52
= k2 ise k2 = 4 k = 2 olur .
13
a = 3k = 3. 2 = 6 ve
b = 2k = 2 . 2 = 4
a + b = 6 + 4 = 10 bulunur . Cevap D
5. Günde 5 saat çalışarak 4 günde 20 m2 duvarı yapan bir işçi , günde 7 saat çalışarak 30 m2 duvarı kaç günde yapar ?
A ) 27/5 B ) 28/9 C ) 30/7 D ) 25/6
Çözüm :
Pratik formülümüzden ;
20 30
=
5 . 4 7 . x
20 30
=
20 7x
30
x = günde yapar .
7 Cevap C
1. 63 m . uzunluğundaki bir kumaş 1 / 2 , 1 / 3 ve 1 / 4 sayıları ile ters orantılı olarak 3 parçaya ayrılıyor . Buna göre en küçük parçanın uzunluğu kaç metredir ?
A ) 35 B ) 28 C ) 21 D ) 14
Çözüm :
1 1 1
a = b = c = k
2 3 4
a / 2 =b / 3 = c / 4 = k
a=2k , b= 3k , c=4k
2k + 3k + 4k = 63 ise ,
k = 7 bulunur .
a = 2k = 2 . 7 = 14 m . olur . ( en küçük parça )
Cevap D
2. 2x ile y + 1 doğru orantılıdır . x = 1 iken y = 6 ise , x = 2 için y kaç olur ?
A )2/7 B )7/4 C )10 D )13
Çözüm:
2x
=k olduğundan
y + 1
2.1 2.2 2 4
= =
6 + 1 y + 1 7 y + 1
2y + 2 = 28 y = 13 olur .
Cevap D
3. Oranları 3 / 4 , toplamları 28 olan iki sayının çarpımı kaçtır ?
A )206 B )192 C )184 D )158
Çözüm:
a 3
a + b = 28 ve = olduğundan
b 4
a b
= = k a = 3k , b = 4k
3 4
a +b = 3k + 4k = 28 7k = 28 k = 4 tür .
a= 3k =3 . 4 = 12 ve b = 4k = 4 . 4 = 16
a . b = 12 . 16 = 192 olur .
Cevap B
4. 2 5 ile 8 5 in geometrik ortası aşağıdakilerden hangisidir ?
A )65 B )45 C )8 D )4
Çözüm:
G . O = 25 . 85
= 80
= 45 olur .
Cevap B
5. 4 3 ile 2 3 in geometrik ortası aşağıdakilerden hangisidir ?
A )62 B )94 C )26 D )72
Çözüm:
G . O = 43 . 23
= 72
= 6 2 olur .
Cevap A
6. A D 4cm
F
2cm.
9cm. 12 cm. 3cm.
E
B 6cm. C
Yukarıdaki şekilde verilen üçgenlere göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur ?
Δ Δ Δ Δ
A) ABC FDE B) ACB FDE
Δ Δ Δ Δ
C) BAC FED D) BAC EDF
Çözüm:
İlk önce bu iki üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe yazıp oranlayalım.
Δ
DEF nin kenarları ; 2 3 4
Δ
ABC nin kenarları ; 6 9 12
2/6 = 3/9 = 4/12 = 1/3 olduğundan bu iki üçgen benzerdir. Orantılı kenarlar karşılarındaki açılarla orantılı olacağından ;
Δ Δ
FDE ACB dir.
Cevap B
A
7.
B
B E C
Çözüm:
|DE| |CE| .
= .
|AB| |CB| .
4 / 6 = x / 12 x = 8 cm
|CB| = |CE| + |EB|
12 cm = 8 cm + |EB|
|EB| = 4 cm bulunur .
Cevap C .
13. A
1 cm.
. D
4 cm.
.
B x 2 cm. C
Çözüm:
s(A) = s(D) (ortak açı)
s(B) = s(E) (veriliyor)
İkişer açıları eş olduğundan üçüncü de eşittir.
A.A.A. benzerlik kuralına göre:
Δ Δ
Buna göre ; CDE CBA dir .
|DE| |CE| |CD|
= = olur.
|AB| |CA| |CB|
4 2
= x=8 cm. bulunur.
x+2 5
Cevap A
14. A D
F
10 y
5
B 6 E x C
Çözüm:
5 x
= x=6 cm.
10 x+6
1 1 1
= = olur. Buradan da y = 10 cm.
5 10 y
x+y = 10+6 = 16
Cevap B.
15.
Gölge
Kalem
30cm. 60 cm.
Çözüm :
10 30
= x= 30 cm. Gölge boyu 30cm. dir.
x 90
Δ Δ
16. (1993-FL) ABC DEF ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
|AB| |AC|
A) = B)s(A)= s(F) C) s(C) = s(D) D) |AB|.|EF| = |BC|.|DE|
|D F| |DE|
Çözüm:
|AB| |AC|
= olduğundan |AB|.|EF| = |BC|.|DE| olur.(içler dışlar çarpımı)
|D E| |DF|
Cevap D
A
y
6cm
B 8 cm
Yukarıdaki üçgende x ve y nedir ?
A)x=5
y=6 B)x=8
y=10 C)x=5
y=10 D)x=10
y=5
Çözüm:
Δ Δ
ABC EDC dir. (A.A.A)
Bu yüzden:
|AB| |AC|
= olur.
|ED| |EC|
6 y
= olduğundan 2x = y olur. Onun İçin y x’ in iki katı olmalıdır.
x
Cevap C
18. A 6 cm B
y 4 cm Yandaki şekilde ;
I AB I // I DE I
I AB I = 6 cm
C I BC I = 4 cm
I CD I = 8 cm
I CE I = 10 cm ise
8cm 10cm x + y kaç cm. dir ?
A) 20 B)18 C)17 D)16
D x E
Çözüm :
A ve E açıları ile B ve D açıları içters açılar olup birbirine eşittirler . Buna göre ;
Δ Δ
ABC EDC dir.
6 4 y
= = bağıntısından x ve y yi çekersek ;
x 8 10
6/x = 4/8 x = 12 cm
4/8 = y/10 y = 5 cm
x + y = 17 cm bulunur . cevap : C
Aşağıdaki şekilde
I DC I // I EF I // I AB I
IDCI = 8 cm
IDEI = 3 cm
IEAI = 6 cm
IABI = 20 cm ise
IEFI kaç cm . dir ?
A)8 B)9 C)10 D)12
D 8 cm C
3 cm
E F
6cm
A 20 cm B
Çözüm :
D 8 cm C
3 cm 3
E F
L
6 cm 6
A 8cm K 12cm B
C noktasından IADI ye paralel ICKI doğru parçasını çizelim . Paralellikten dolayı ;
IDCI = IAKI = IELI = 8 cm
IDEI = ICLI = 3 cm
IEAI = ILKI = 6 cm
IKBI = 20 –8 = 12 cm
ILFI // IKBI olduğundan CLF ve CKB üçgenleri de benzer üçgen olurlar buradan ;(AAA) özelliğinden ;
ICLI / ICKI = ILFI / IKBI dir .
bilinenler yerine yazılırsa ;
IEFI = IELI + ILFI = 8 + 4 = 12 cm bulunur .
Cevap D
20.
A
3cm Şekilde ; IDEI // IBCI ,
IADI = 3cm
D E IDBI = 6cm ve
A(ADE) = 4cm2
6cm A(DBCE) kaç cm 2 dir ?
B C
A) 28 B) 32 C) 36 D) 48
Çözüm :
IDEI // IBCI olduğundan ADE ABC dir .
IADI / IABI = 3 / 9 = 1 / 3 (benzerlik oranı )
Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan ;
A(ADE) 4 1 2
= =
A(ABC) 4 + x 3
4 1
=
4 + x 9
x = 32 cm 2 bulunur .
Cevap B dir .
DİK PRİZMALAR
Tabanları birbirine eş herhangi bir çokgen ve yan yüzeyleri taban düzlemlerine dik birer dikdörtgen olan cisimlere dik prizmalar denir. Prizmalar taban şekillerine göre adlandırılırlar. Örneğin kare dik prizma, üçgen dik prizma gibi.
Dik Prizmanın Özellikleri
Alt ve üst tabanları eş ve paraleldir.
Yan yüzeyleri dikdörtgenlerden oluşmuştur.
Yan ayrıtları aynı zamanda dik prizmaların yüksekliğidir.
Bir dik prizmanın yanal alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
Bir dik prizmanın tüm alanı, yanal alanı ile iki taban alanının toplamına eşittir.
Bir dik prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
Bir dik prizmanın; köşe sayısı K, yüz sayısı Y, ayrıt sayısı A ile gösterilirse bunlar arasında K+Y-A=Z bağıntısı vardır.
A) Kare Dik Prizma
Tabanı kare olan dik prizmaya kare dik prizma denir. Kare prizmanın alt ve üst tabanları birbirine eş iki kare, yan yüzeyleri ise birbirine eş dikdörtgenlerdir.
Taban Çevresi = 4a, Taban Alanı = a2 , Yanal Alanı = 4 ah
Bütün Alanı : A = 2 Ta + Ya
= 2a2 + 4 ah = 2a (a+2h)
Hacim = a2 .h Cismin köşegeninin uzunluğu : k =
B) KÜP
Bütün yüzleri karesel bölge olan dik prizmaya küp denir.
Taban Çevresi = 4a, Taban Alanı = a2 , Yanal Alan = 4a2
Bütün Alan = 2 Ta + Ya Hacmi = a3, Yüzey Köşegeni = a
= 2 a2 + 4 a2 = 6 a2 Cisim Köşegeni = a
C) DİKDÖRTGENLER PRİZMASI
Bütün yüzeyleri dikdörtgen olan dik prizmaya dikdörtgenler prizması denir.
Taban Çevresi = 2.(a+b), Taban Alanı = a.b
Yanal Alanı = 2.(a+b).c, Bütün Alan = 2.(ab+ac+bc)
Hacmi = a.b.c., Cisim Köşegeni =
D) ÜÇGEN DİK PRİZMA
Tabanı üçgen olan dik prizmaya, üçgen dik prizma denir.
Sayfa 226 üçgen prizma ekle.
Tabanları üçgen ve bu üçgenler birbirine eştir.
Yan yüzeyleri dikdörtgendir.
Yanal ayrıtlar eş ve birbirine paraleldir.
Taban çevresi = a+b+c, Taban alanı = (a+b+c).h
Bütün alanı = 2.Ta+Ya, Hacmi = Ta x h
E) DÜZGÜN ALTIGEN DİK PRİZMA
Tabanı altıgen olan dik prizmaya, düzgün altıgen dik prizma denir.
Yan yüzeyleri birbirine eş 6 dikdörtgenden oluşur.
Tabanlarındaki altıgen 6 eş kenar üçgeninin birleşmesinden oluşur.
Taban alanı = 6 . Yanal alan = 6.a.h
Bütün alan = 2.Ta + Ya, Hacmi = Ta . h
= 2.3 ak + 6 ah = 3 ak . h
= 6 a.(k + h)
F) DİK SİLİNDİR
Bir dikdörtgensel bölgenin kenarlarından biri etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan cisme dik silindir denir.
Dik silindir tabanları birbirine eş daireler olan bir dik prizmadır.
Tabanının yarı çapı r, yüksekliği h olan dik silindirin;
Taban alanı = .r2 , Yanal alanı = 2 . .r.h
Bütün alanı = 2. Ta + Ya, Hacmi = .r2.h
2) PİRAMİT, DİK KONİ VE KÜRE
Evin çatısı gibi cisimler piramide; dondurma külahı gibi cisimler koniye, top gibi cisimlerde küreye benzetilebilir.
Not : Prizmaların ikişer tabanı olduğu halde, piramit ve koninin bir tabanı vardır. Bu özellik piramit ile prizmaları birbirinden ayıran en önemli özelliktir.
A) PİRAMİT
Tabanı çokgen, yanal yüzleri ise ortak bir tepe noktasında birleşen üçgenlerden oluşan yüzlülere denir. Piramitler de prizmalar gibi tabanlarına göre adlandırılırlar. Örneğin; tabanı üçgen olan piramide üçgen piramit denir.
Düzgün piramitlerin özellikleri
Taban bir düz çokgendir.
Taban ayrıtları ve yanal ayrıtları birbirine eştir.
Yanal yüzler eş ikizkenar üçgenlerdir.
Yanal yüzlerin tepe noktası ortaktır.
Düzgün piramitlerde Alan ve Hacim
Yanal alan = a . Tüm alan = Ya + Ta
Hacmi =
1) KARE DİK PİRAMİT
Taban alanı = a2 , Bütün alan = a2+2.a.k, Hacim =
Yanal alan = 2.a.k
2) DÜZGÜN DÖRT YÜZLÜ
Dört yüzü de eşkenar üçgen olan piramide düzgün dört yüzlü denir.
Yüksekliği = Taban alanı = Hacmi = .Ta.h
Bütün alan =
B) DİK KONİ
Bir dik üçgenin, bir dik kenar, etrafında 3600 döndürülmesiyle oluşan cisme dik koni denir.
Dik koninin özellikleri
Yanal yüz bir daire dilimidir.
Tepe noktasını taban dairesinin merkezine birleştiren doğru parçası koninin yüksekliğidir.
Taban alanı = .r2, Yanal alan = .r.a, Bütün alan = .r.(r+a)
Hacmi = ,
C) KÜRE
Merkezi O, çapı 2r olan bir yarım dairenin etrafında 3600 döndürülmesiyle oluşan cisme, küre denir.
Kürenin Özellikleri
Kürenin merkezi O noktasıdır.
Büyük daire, küreyi iki eş parçaya böler.
Karenin merkezinden geçen düzlemle kürenin ara kesitine kürenin büyük dairesi denir.
Alanı = A = 4. .r2, Hacmi = V =
ÇEMBER
A-ÇEMBERDE YARDIMCI ELEMANLAR
Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesine ÇEMBER denir.
Çember bulunduğu düzlemi;
Çember *İç Bölge
*Dış Bölge olmak üzere üç bölgeye ayırır.
*Çember
İç Bölge
Dış Bölge
Kiriş ve Yay Özellikleri |AC| = |CB|
*Bir çemberde,merkezden kirişe [OD][AB] |AE| =|EB|
indirilen dikme,bu kirişi ve yay- |AD| =|DB|
larını ortalar.
B
*Bir çemberde,eş kirişlerin sı- A | AB|=|CD|
nırladığı yayların ölçüleri ve u- [AB] [CD]
zunlukları eşittir. D s(AB)=s(CD)
C
*Bir çemberde,eş kirişler mer- A C
kezden eşit uzaklıktadır.
[AB] [CD| [OE] [OF]
*Bir çemberde,paralel iki kiriş A B
arasında kalan yaylar eştir. [AB] ∕ [CD] BD AC
C D
2-Kirişler Dörtgeni
Kenarları bir çembere kiriş olan dörtgene kirişler dörtgeni denir.
*Bir kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların
ölçülerinin toplamı 180º`dir A B s(A)+s(C)=180º
s(B)+s(D)=180º
kiriş
3-Çembere Teğet Çizme
Bir Çembere Üzerindeki Bir Noktadan Teğet Çizme
Bir çembere üzerindeki bir “A” noktasından,pergel ve cetvel yardımı ile teğet çizelim:
1-“O”merkezli, “r” yarıçaplı bir çember çizilip,
üzerinde bir “A” noktası alınır.
2-Çemberin “O” merkezi ile a noktasından ge- T
çen [OA,cetvel yardımı ile çizilir.
3-A noktasından,pergel ve cetvel yardımıyla
[OA’na bir dikme çıkılır.Çizilen bu dikme,A nok-
tasında çembere teğettir.Çünkü yarıçap teğete
değme noktasında diktir.[OA]TA
Bir Çembere Dışındaki Bir Noktadan Teğet Çizme
Bir (O,r) çemberinde dışındaki bir “T” notasından pergel ve cetvel yardımıyla teğet çizelim:
1-Çemberin merkezi ile dışındaki t noktasını
birleştirelim. T
2-[TO]’nın orta noktası bulunur.Bu nokta O’ A
olsun.|TO’| yarıçap kabul ederek,O’ merkez-
li çember çizilir.Bu çemberin,(O,r) çemberini T
kestiği noktalar “A”ve “B” olsun.
B
A
3-Cetvel ile [TA ve [TB çizilir.TA ve TB ışınları
(O,r) çemberine dışındaki bir T noktasından T
teğetler olur.
Şekildeki TAO ve TBO açıları,TO çapını gördü- B
ğünden açıların ölçüleri 90º’dir.
s(TAO)=s(TBO)=90º yani
[TA [OA] ve [TB [OB]
Bu açıklamalardan aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz:
1-Bir çembere,üzerinde verilen bir noktadan yalnız bir teğet çizilebilir.
2-Bir çembere,dışında verilen bir noktadan en çok iki teğet çizilebilir.
4-Teğet Özellikleri
P A
*Bir çemberde teğet,değme noktasından
geçen yarıçapa diktir.
PA [OP]
*Çemberin dışındaki bir noktadan çem-
bere çizilen teğet parçalarının uzunluk- A
ları eşittir.
. P
B
B-ÇEMBERDE AÇILAR
1-Merkez Açı
Köşesi çemberin merkezinde bulunan açıya merkez açı denir.
*Bir merkez açının ölçüsü,gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
s(AOB) =s(AB)=64º s(COD)=s(CD)=50º
*Eş merkez açıların,gördükleri yaylarda eşittir.
C D
S(AOB)=s(COD)= ise s(AB)=s(CD)= ‘dır.
A B
Uyarı:
*Tüm çember 360º’lık yay birimidir.
1
* 2 çember 180º’lık yay birimidir.
1
* 4 çember 90º’lık yay birimidir.
2-Çevre (Çember) Açı
Köşesi çember üzerinde bulunan,kenarları çembere kiriş olan açıya çevre veya çember açı denir.
P
*Çevre açısının ölçüsü,gördüğü yayın s(AB) s(BOA) 80
ölçüsünün yarısına eşittir. s(APB)= = = =40º
A B
80º
*Bir çemberde aynı yayı gören çevre açılarına eşittir.
B
s(A)=s(B)=s(C) A C
s(DE) 80 40º’dir.
2 2
D E
*Bir çemberde çapı gören çevre açının ölçüsü 90º’dir.
A
s(A)= = =90º’dır.
2 2
B C
SORULAR
1-Yandaki O merkezli çemberde;|AB|=|CD| C
|OF|=7x-3,
|OE|=3x+5 D
ise x kaç birimdir.
B
A
a)1 b)2 c)3 d)4
ÇÖZÜM:Eş kirişler merkezden eşit uzaklıktadır.
|OE|=|OF| 7x-3=3x+5
4x=8
x=2’dir. CEVAP=B
2-Yandaki O merkezli çemberde |OA|=|OB|,
|PQ|=5x-6
|RS|=2x+3
ise |PA|=kaç birimdir.
a)2 b)5/2 c)7/2 d)9/2
ÇÖZÜM:Merkezden eşit uzaklıktaki kirişler eşittir.
|PQ|=|RS| 5x-6=2x+3
3x=9
x=3
|PQ| 5x-6 5.3-6 9
|PA|= = = = Birim.
2 2 2 2 CEVAP:D
3-Yandaki şekle göre,s(P) kaç derecedir? B
A
a)32 b)35
c)38 d)40
ÇÖZÜM:ABCD kirişler dörtgeni olduğundan;
s(B)+s(CDA)=180º dir.
s(B)+85=180º s(B)=95º
s(B)+s(C)+s(P)=180º (BCP dir.)
140+s(P)=180 s(P)=40º CEVAP:D
4-Şekilde A,B,C merkezli çemberler
bibirine teğettir.|AB|=12 cm
|AC|=10 cm
|BC|=8 cm ise
A merkezli çemberin yarıçapı kaç cm dir?
a)4 b)5 c)7 d)8
ÇÖZÜM:
A merkezli çemberin yarıçapı x
B “ “ “ y
C “ “ “ z olsun.
x+y=12=|AB|
x+z=10=|AC|
+ y+z=8 =|BC|
2x+2y+2z=30
2(x+y+z) =30
x+y+z =15
CEVAP:C
x+8=15 x=7cm
5-Yandaki O merkezli çemberde |OP|=10cm,
O P
s(AOP)=60º ise r kaç cm’dir.
a)3 b)5 c)6 d)7
ÇÖZÜM:Teğet,değme noktasından yarıçapa dik olacağından,s(OAP)=90º dir.s(P)=30º
olur.Bir dik üçgende 30º’nin karşısındaki dik kenar,hipotenüsün yarısına eşit
olacağından;
r=|OP| =10=5cm’dir.
2 2 CEVAP:B
6-Yandaki O merkezli çemberde,verilenlere R
göre,s(ORS) kaç derecedir? O
a)30 b)35 c)40 d)45
P
S
ÇÖZÜM:
|PR|=|PS|
s(PRS)=s(RSP) (PRS ikizkenardır.)
180-70
s(PRS)= =55º’dir.
2
s(ORP)=90º (Teğet değme noktasındaki yarıçapa diktir.)
s(ORP)=90º-55º=35º’dir. CEVAP:B
A
7-Yandaki şekilde verilenlere göre,
s(DEF) kaç derecedir? D F
a)50 b)55
c)60 d)65
B E C
ÇÖZÜM: DBE ikizkenardır. (|BD|=|BE|)
180-64
s(BED)=s(BDE)= =58º
2
CEF ikizkenardır. (|CE|=|CF|)
s(FEC)=S(CFE)= 180-56 =62º dir.
2
s(DEF)=x=180-(58+62)=60º’dir. CEVAP:C
A
8-Yandaki şekle göre,s(C) kaç derecedir?
a)40 b)45
c)50 d)60 B D
ÇÖZÜM:
s(D)=s(A)=40º (Aynı yayı gören çevre açıları eşittir.)
CED dik üçgeninde; s(C)+s(D)=90º
s(C)+40=90º s(A)=50º’dir. CEVAP:C
A
9-Yandaki O merkezli çemberde [BC]
çap ise verilenlere göre s(C) kaçtır?
32º
a)48 b)58 c)60 d)62 B O C
ÇÖZÜM: s(A)=90º (Çapı gören çevre açı 90º’dir.)
s(C)+s(B)=90º (BAC dik üçgendir.)
s(C)+32=90º s(C)=58º’dir. CEVAP:B
10-Yandaki çemberde O merkezdir.
s(AOC)=140º ise s(B) kaçtır? E
a)90 b)100 c)110 d)115
A
B
ÇÖZÜM: s(ABC)=140º (Merkez açı gördüğü yay ile ölçülür.)
s(AEC)=360-140=220º
s(AEC) 220º
s(ABC)= = =110º (Çevre açı,gördüğü yayın yarısıyla ölçülür.)
2
CEVAP:C
C
11-Şekilde s(C)=40º ise verilenlere
göre,s(BPA) kaçtır?
a)90 b)95 c)100 d)110
A
B
ÇÖZÜM:B ve A noktalarını C
çemberin merkezine bir-
leştirelim .
A
B
P
s(BOA)=80º(Aynı yayı gören merkez açı,çevre açının iki katına eşittir.)
s(OBP)=s(OAP)=90º(Teğet,çembere değme noktasındaki yarıçapa diktir.)
OBPA dörtgeninde; s(P)=360-(80+90+90)
s(P)=360-260=100º’dir. CEVAP:C
12-Yandaki O merkezli çemberde A
verilenlere göre s(CAO) kaç derecedir?
a)25 b)30 c)35 d)40 D O
B
C
ÇÖZÜM:s(AOB)=2.s(ACB) (Aynı yayı gören merkez açı,çevre açının iki katına eşittir.)
s(AOB)=2.40=80º s(ODC)=s(O)+s(A) (ADC sı,AOD de diş açıdır.)
110=80+s(A) s(A)=30º olur. CEVAP:B
A
13-Şekildeki O merkezli çemberde
s(ACD)=70º ise s(ABD) kaç derecedir?
O
a)50 b)55 c)58 d)60
D
B C
ÇÖZÜM:O noktasını C ile A
birleştirelim.
s(OCD)=90º (Teğet çembere değme O
noktasındaki yarıçapa diktir.)
D
B C
s(OCA)=90-70=20º
s(OCA)=s(A)=20º (OAC ni ikizkenardır.)
s(BOC)=s(A)+s(OCA) (BOC sı,AOC de dış açıdır.)
s(BOC)=20+20=40º
OCB dik üçgeninde,
s(B)+s(BOC)=90º’dir.
s(B)+40=90 s(B)=50º’dir. CEVAP:A
T
14-Yandaki şekilde,AT,O merkezli A
ve 3 cm yarıçaplı çembere A nok- D
tasında teğettir.AT/ [BD] ve
|AB|=6 cm ise s(BAD) kaç derecedir? O
a)90 b)95 c)100 d)105 C
B
ÇÖZÜM:A ile O noktasını birleştirelim.
AT [AO] (Teğet çembere değme noktasındaki yarıçapa diktir.)
AT [AO] ise [BD][AO] A
(AT/ [BD] olduğundan) D
s(OAD)=s(ODA)=45º (AOD ikizkenar dik üçgendir.)
AOB dik üçgeninde; O
|AO|=3 cm C
|AB|=6 cm s(B)=30º ve s(BAO)=60º’dır.
B
(Bir dik üçgende; dik kenar,hipotenüsün yarısına eşit ise bu dik kenarın karşısındaki
açı 30º’dir.)
O halde; s(BAD)=60+45=105’dir. CEVAP:D
1. TEMEL KAVRAMLAR
Kelime anlamı ile “ Trigonometri ” üçgenlerin çözümü anlamına gelmekte olup hesap metotlarının geometriye basit bir şekilde uygulanmasıdır.
1.1. YÖNLÜ ( İŞARETLİ ) AÇILAR
Aynı düzlem üzerinde bulunan ve kenar doğruları paralel olmayan ( örneğimizde ; E ve F gibi iki yarı düzlemin arakesitine ( kesişimine ) yani açının iç bölgesine “ Konveks Açısal Kesme ”, birleşimine ise “ Konkav Açısal Kesme ” denir.
E F E E
F F
Konveks Açısal Kesme Konveks Açısal Kesme Konkav Açısal Kesme
Çalışmamızda saat yelkovanının dönme yönünün tersi pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönü de negatif yön olarak el alınacaktır.
1.2. AÇI ÖLÇME BİRİMLERİ
Açı ölçmede genellikle üç birim kullanılır. Bunlar derece, radyan ve grattır.
Derece : Bir çemberin 360 da 1 ini gören merkez açısının ölçüsü 1 derece’ dir.
1 derece 60 dakikadır……………………1o = 60 ‘
1 dakika 60 saniyedir……………………1 ‘ = 60 ”
Radyan : Bir çemberin, yarıçapının uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyan’ dır.
Grad : Bir çemberin 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 grattır.
Derece, radyan ve grad arasında ,
360 o = 2 л radyan = 400 grad veya
180 o = л radyan = 200 grad bağıntısı vardır.
Buna göre derece D ile, radyan R ile, grad G ile gösterilirse aşağıdaki bağıntı elde edilir.
D / 180 = R/ л = G / 200
Esas Ölçü : Derece cinsinden bir açının 360 o ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçü, radyan cinsinden bir açının 2 л’ ye bölümünden kalan, radyan cinsinden esas ölçü adını alır.
2. TRİGONOMETRİ
2.1. BİRİM ÇEMBER ( TRİGONOMETRİK ÇEMBER )
Merkezi, koordinat eksenlerinin kesiştikleri nokta ( yani orijin ) ve yarıçapı 1 birim uzunlukta olan çembere, birim çember ya da trigonometrik çember denir. Birim çemberin yarıçapı 1 birim olduğu için çevresi 2 л birimdir.
Birim çember, analitik düzlemde Ç = { ( x , y ) x2 + y2 = 1 ve x, y R } kümesine karşılık gelen tüm noktaların kümesinden oluşur.
Özetle, birim çemberin denklemi x2 + y2 = 1 dir.
B (0,1)
+
A’ A
(-1,0) 00 (1,0)
B’ -
(0,-1)
2.2. SARMA FONKSİYONU
Reel sayılar kümesi R ve birim çemberin üzerindeki tüm noktaların kümesi Ç olmak üzere, x R ve P Ç olmak üzere S (X) = P biçiminde tanımlanan S fonksiyonuna “ Sarma Fonksiyonu ” denir.
R Ç
S Sarma fonksiyonunun tanım kümesi R ( reel sayılar ) ve
değer kümesi Ç ( birim çember )
olduğundan bu fonksiyonu ;
X
S : R Ç biçiminde gösterebiliriz.
Tanım Kümesi Değer Kümesi
S : R Ç sarma fonksiyonu, örten fonksiyondur.
Örnek: Reel sayılar kümesinin, K = { 0 x 360 } = { 0 , 360 } alt kümesini alarak 0 sayısını birim çemberin A noktasına, 90’ nı B noktasına, 180’ ni A’ noktasına, 270’ i B’ noktasına ve 360’ ı yine A noktasına eşleyen S’ : K Ç sarma fonksiyonu incelendiğinde aşağıdaki sonuçlar elde edilir.
S ‘ ( 0 ) = ( 1,0 ) = A
S ‘ ( 90 ) = ( 0,1 ) = B
S ‘ ( 180 ) = (-1,0) = A’
S ‘ ( 270 ) = (0,-1) = B’
S ‘ ( 360 ) = (1,0) = A
Bu durumda reel sayı doğrusunun [ 0 , 360 ) parçasının, birim çemberin etrafını tam olarak sardığı düşünülürse [ 0 , 360 ) aralığındaki sayılarla birim çemberi oluşturan noktaların bire bir eşlendiği görülecektir.
S : R Ç sarma fonksiyonunun A, B, A’, B’ noktalarına eşlediği reel sayıların kümeleri de sırayla,
{ k, 360 k Z } = { k, 2 л , k Z }
{ 90 + k, 360 k Z } = л
2
2.3. DİK ÜÇGENDE BİR DAR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARI
A
c Hipotenus b Karşı Dik Kenar 0 o < θ o < 90 o
B C
a Komşu Dik Kenar
sin θ Karşı dik kenarın uzunluğu b
Hipotenusun uzunluğu c
cos θ Komşu dik kenarın uzunluğu a
Hipotenusun uzunluğu c
tan θ Karşı dik kenarın uzunluğu b
Komşu dik kenarın uzunluğu a
cot θ Komşu dik kenarın uzunluğu c
Karşı dik kenarın uzunluğu a
3. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
3.1. SİNÜS ( SIN ) VE KOSİNÜS ( COS ) FONKSİYONLARI
y
B (0,1)
A’ (-1,0) 00 A (1,0) x
B’
B ‘ (0,-1)
Birim çember üzerinde, AOP açısını göz önüne alalım.
P noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da açının sinüsü denir.
X0 = cos θ Y0 = sin θ
cos : R [ – 1, 1 ] kosinüs fonksiyonu
cos : x cos x ile gösterilir.
Sin: R [ – 1, 1 ] sinüs fonksiyonu
Sin : x sin x ile gösterilir.
Bu bağıntının sonuçları,
KєZ için sin( x + 2 лk) = sin x ve cos( x + 2 лk) = cos x olduğundan sin ve cos fonksiyonları periyodiktir ve periyodu 2л’ dir.
– 1 ≤ sin x ≤ 1 ve – 1 ≤ cos x ≤ 1 dir.
P( a,b) noktası b2+a2 =1 sin2x + cos2x = 1 dir.
3.2. TANJANT ( TAN ) VE KOTANJANT ( COT ) FONKSİYONLARI
y
B (0,1)
A’ (-1,0) 00 A (1,0) x
B’
B ‘ (0,-1)
Birim çembere A ve B noktalarında çizilen teğetlerin [0x ışını ile kesim noktaları T ve K dır.
T (1, t ) ve K( k,1) olsun.
T (1, t ) noktasının t ordinatına, x gerçel sayısının tanjantı denir ve t = tan x ile gösterilir.
K( k,1) noktasının k apsisine, x gerçel sayısının kotanjantı denir ve k = cot x ile gösterilir.
tan x = sin x cot x = cos x dır.
cos x sin x
TRİGONOMETRİ
Bir Dar Açının Trigonometrik Oranları
ABC dik üçkeninde:
c
b a a : karşı dik kenar uzunluğu
b hipotenüsün uzunluğu
A c B
c : karşı dik kenar uzunluğu
d hipotenüsün uzunluğu
a : karşı dik kenarın uzunluğu
c komşu dik kenarın uzunluğu
c = komşu dik kenarın uzunluğu şeklinde ifade edilir.
a karşı dik kenarın uzunluğu
Trigonometrik Oranlar Arasındaki Özellikler:
0
sin Â+cos Â= 1 dir. Sin Â= cos (90-Â)
Tan  . cot Â= 1 dir.
Birbirini 90 ye bağlayan iki açıdan birinin
Tanjantı, diğerinin kotenjantına eşittir.
tan Â= cot (90-Â)
sin Â
tanÂ= cos Â
cos Â
cotÂ= sin Â
Trigonometri Cetveli:
Trigonometrik oranlar tablosu incelenirse, şu özelliklerle karşılaşılır:
Bir dar açının ölçüsü 1 den 89 ye kadar artarsa:
Sinüsü 0,0175 ten 0,9998 e kadar artar,
Kosinüsü 0,9998 den 0,0175 e kadar azalır,
Tanjantı 0,0175 ten 57,2900 e kadar artar,
Kotenjantı 57,2900 den 0.0175 e kadar azalır.
Trigonometrik olayların artışı yada azalışı açı ile orantılı değildir. Yani açı 2,3,4,……. kat büyüdüğünde bunun kosinüsü de 2,3,4,……. kat büyümez.
ÖRNEK:
Cos 40=4cos10 dir.
KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR
Örnek 1:
Sin10. Tan30. Cos20. Sin30 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Cos80. Cot60.sin70 (1996-DPY)
Çözüm:
Sin10=cos80
Tan30=cot60
Cos20=sin70 dir. Bunları, verilen ifadede yerine koyalım.
Cos80. Cot60. Sin70. Sin30
=
cos80.cot60. sin70
=sin30
Örnek 2: 15
0
Çözüm:
A Buna göre pisagor bağıntısından;
Y*=17*-15*
17 y*=289-225
y=8 birimdir. Veya 8,15,17 özel üçkeninden y nin 8 olduğunu
B 30 C bulabiliriz.
15 |ac| 8
buna göre tan x = = olur.
|bc| 15
ÖRNEK 3:
A
Şekilde [AH] [BC],
5 5
Tan B= ve tan c= ise,
8 13
B H C
ABC üçkeninin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
(1991 – FL)
ÇÖZÜM:
h 5 8h
Tan B= = ise , p =
P 8 5
h 5 13h
Tan C= = ise, k =
k 13 5
8h 13h 21h
|BC| =P+K = + =
5 5 5
|BC| .|AH|
A(ABC) =
2
1 21h 21 21
A(ABC)= . .h = h* = |AH|* olur.
2 5 10 10
Örnek 4: Sin*x + cos*x = 1 olduğuna göre
Sin x – cos x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ?
Sin x – cos x
(1990 – FL)
Çözüm:
Sin x – cos x sin x – cos x
= =
(sin* x + cos* x) . (sin* x – cos* x) 1. (sin* x – cos* x)
(sin x – cos x)
=
(sin x + cos x) . (sin x – cos x)
1
= olur.
sin x + cos x
Örnek 5:
C Şekildeki ABC dik üçgeninde s(Â)=90 ve
A,b,c kenar uzunluklarını gösterdiğine göre,
(sin b)* + (sin c)* ifadesi aşağıdakilerden
B a hangisidir ?
(1993 – FL)
A c B
Çözüm:
b c
Sin(B) = ve sin(C) =
a a
b* c* b* + c*
(sin B)* 4 (sin C)* = + =
a* a* a*
pisagor bağıntısından a* = b* + c* olduğundan
a*
(sin B)* + (sin C)* = = 1 olur.
a*
Örnek 6:
Sin 30 . cos 60 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
2 tan 45
1 B) 1 C) 1 D) 1
2 4 8 14
Örnek 7:
Sin 53
1- ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
cos 37
A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1
2
Örnek 8:
1
(cos x). (tan x) . ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ?
sin x
A) 1 B) 0 C)cos x D) sin x
Örnek 9:
A
Şekildeki ABC üçkeninde, cotg B + cotg C =4 ve
|AH| = 3 cm ise, |BC| kaç cm dir ?
(1996-FL/AÖL)
3 cm
B C
A)8 B)10 C)12 D)14
Örnek 10:
D C Aşağıdakilerden hangisinde verilenlerle şekildeki
ABCD dikdörtgeninin çevresi bulunamaz ?
A) |AB| ile |BC| nin çarpımı
A a B B)|BC| ve sin a
C)|AC| ve sin a
D)|AB| ve |BC|
BİRİM ÇEMBER VE YÖNLÜ AÇILAR
BİRİM ÇEMBER: YARI ÇAPI BİR BİRİM OLAN VE MERKEZİ ORİJİNDE BULUNAN ÇEMBERE BİRİM ÇEMBER DENİR.BİRİM ÇEMBERİN UZUNLUĞU 2’DİR.
YÖNLÜ AÇI : BİTİM KENARI BİRİM ÇEMBERİN POZİTİF YÖNÜNDE OLAN AÇILARA POZİTİF YÖNLÜ AÇILAR DENİR. BİTİM KENARI BİRİM ÇEMBERİN NEGATİF YÖNÜNDE OLAN AÇILARA DA NEGATİF YÖNLÜ AÇILAR DENİR.
y
Q Bitim ışını
+ x Başlangıç ışını
-
Bitim ışını
AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ
Derece: Bir çemberin tüm yayının ölçüsü 360 dir. Bir çemberin 360’ta birini gören açının ölçüsü 1 dir. 1 nin ¹/60 ‘ine 1’ (dakika) denir. Bir dakikanın ¹/60 ‘ine 1” (saniye) denir.
Radyan: Bir çemberin tüm yayının ölçüsü 2 radyan dır. Bir çemberde yarı çapı uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsü 1 radyan dır.
Grad: Bir çemberin tüm yayını ölçüsü 400 grad dır. Bir çemberin ¹/ 400 ‘ini gören merkez açının ölçüsü 1 grad dır.
Derece , Radyan , Grad Arasındaki Bağıntı : D ‗ R ‗ G
180 200
Bir Açının Esas Ölçüsü
derecelik bir açı için 0 360 olmak üzere = + 2k k Z eşitliğinde ‘ya derecelik açının esas ölçüsü denir.
Bir Açının Esas Ölçüsünü Bulma
Bir açının ölçüsü derece cinsinden verildiğinde;
Açının ölçüsü 0 ile 360 arasında ise esas ölçüsü verilen ölçüdür.
Açının ölçüsü 360 ‘den büyük ise verilen ölçü 360’a bölünür, elde edilen kalan o açının esas ölçüsüdür.
Örnek: 1256’nin esas ölçüsünü bulunuz
360
1080 3
Esas ölçü
c)Açını ölçüsü negatif ve ölçünün mutlak değeri 360º ‘den küçükse bu mutlak değer 360’tan çıkarılır.
Örnek: -30º nin esas ölçüsünü bulun. –340º nin esas ölçüsünü bulun.
360 – 30 = 330º 360 – 340 = 20º
d) Açının ölçüsü negatif ve ölçünün mutlak değeri 360’tan büyükse ölçünün mutlak değeri 360’a bölünür,kalan 360’tan çıkarılır.Farkı esas ölçüdür.
Örnek: – 3450º nin esas ölçüsünü bulun.
3450 360 360 – 210 = 150º
3240 9
210
Bir açının ölçüsü radyan cinsinden verildiğinde;
a)Açının ölçüsü 0 ile 2 radyan arasında bir değer ise esas ölçü verilen değerdir.
b)Açının ölçüsü 2 den büyük ise bu ölçüden ’nin çift katları çıkarılır.Kalan açının esas ölçüsüdür.
Örnek: 19 esas ölçüsünü bulun.
3
19 ‗ 6 . 3 ₊ ‗ 3.2 ₊ 19 ‗
3 3 3 3 3 3
c)Açının ölçüsü negatif ve bu ölçünün mutlak değeri 2’den küçük ise açının ölçüsünün mutlak değeri 2 ‘den çıkarılır.Fark açının esas ölçüsüdür.
Örnek: – 7 esas ölçüsünü bulun
4
2 – 7 ‗
4
d)Açının ölçüsü negatif ve bu ölçünün mutlak değeri 2 ‘den büyükse verilen açının mutlak değerinin esas ölçüsü bulunur ve 2’den çıkarılır.
Örnek: – 7 esas ölçüsünü bulun
3
- 7 ‗ – 3,5 3,5 – 2 ‗ 3 2 – 3 ‗
2 2 2 2
sinüs ekseni
cot ekseni B(0,1) cotθ K Trigonometrik Fonksiyonlar
y=1 Kosinüs, Sinüs,Kotanjant ve Tanjant Fonksiyonları:
sinθ h P T Tanım:Bir çemberde S(AÔP)=θ olan P(x,y) noktasının
tanθ apsisine θ reel sayısının kosinüsü denir ve “cosθ ” ile gös-
( 1,0)A’ O θ h A(1,0) terilir.P noktasının ordinatına da θ reel sayısının sinüsü
cosθ B kosinüs ekseni denir ve “sinθ” biçiminde gösterilir.
Tanım kümesi R olan ve R’ nin her bir x elemanını
Tan ekseni cosx’e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.
x=1 Tanım kümesi R olan ve R’ nin her bir x elemanı B(0,-,1) sinx ‘ e dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.
[OP ‘ nın x=1 doğrusunu kestiği noktanın ordinatına θ’ nın tanjantı denir ve “tanθ” biçiminde gösterilir. [OP ‘ nın y=1 doğrusunu kestiği noktanın apsisine θ’ nın kotanjantı de-
nir ve “cotθ” biçiminde gösterilir.
Tanım kümesi R- {/2+k k є Z} olan ve tanım kümesindeki her bir x reel sayısını tanx’ e eşleyen fonksiyona tanjant fonksiyonu denir.
Tanım kümesi R- {k k є Z} olan ve tanım kümesindeki her bir x elemanı cotx’e eşleyen fonksiyona kotanjant fonksiyonu denir.
sin(θ+ k2) = sinθ sinθ ‗ tanθ cosθ ‗ cotθ
cos(θ+ k2) = cosθ cosθ sinθ
sin²θ+cos²θ ‗ 1 sinθ ‗ √ 1 – cos²θ cosθ ‗ √ 1- sin²θ
Sekant Ve Kosekant Fonksiyonları
Sin
C Aôp yönlü açısının çemberi kestiği nokta P olsun.
B P noktasından çembere çizilen teğetin apsisler eksenini
h P kestiği noktaya g ve ordinat eksenini kestiği noktaya C di-
yelim.g noktasının apsisine θ reel sayısının sekantı denir.
A’ H g cos (secθ). C noktasının ordinatına da θ reel sayısının kosekantı
O A denir.
sec: {/2 +k , k єZ } secθ ‗ 1 cosecθ‗ 1
B’ cosec: { k , k єZ} cosθ sinθ
Örnek : Sin²θ – 1 ifadesini en sade şekilde yazın. 1 – tan ²x + 1 = ?
cos²θ cos²x
-( 1- sin²θ) ‗ -1 = 1- sin²x + 1
cos²θ cos²x cos²x
= 1+ (-sin²x+1) ‗ 1+ 1- sin²
cos²x cos²
= 1+1=2
Bölgelere Göre Trigonometrik Fonksiyonların Değerleri
sin
secx:- sinx:+ sinx: + secx:+
cosecx:+ cosx:- cosx:+ cosecx:+
tanx:- 2.bölge 1.bölge tanx:+
cotx:- cotx:+ cos
sinx:- 3.bölge 4.bölge sinx:-
cosx:- cosx:+
secx:- tanx:+ tanx:- secx:+
cosecx:- cotx:+ cotx:- cosecx:-
Dik Üçgende Bir dar Açının Trigonometrik Oranları
C
Sin ‗ karşı dik ‗ a tan ‗ karşı dik ‗ a
hipotenüs b komşu dik c
a b
cos ‗ komşu dik ‗ c cot ‗ komşu dik ‗ c
hipotenüs b karşı dik a
B A
c
sec ‗ 1 ‗ 1 ‗ b cosec ‗ 1 ‗ 1 ‗ b
cos c c sin a a
b b
Ölçüler toplamı 90º olan tümler iki açıdan birinin sinüsü öbürünün kosinüsüne birinin tanjantı öbürünün kotanjantına eşittir.
a
0º
30º
45º
60º
90º
180º
270º
360º
Sin a
0
1 / 2
√ 2 /2
√ 3 /2
1
0
-1
0
Cos a
1
√ 3 / 2
√ 2 / 2
1 /2
0
-1
0
1
Tan a
0
√ 3 /3
1
√ 3
tanımsız
0
tanımsız
0
Cot a
tanımsız
√ 3
1
1 / √ 3
0
tanımsız
0
tanımsız
Örnek: sin90º . cos60º – tan60º . cos60º ‗ ?
1 – √ 3 . √ 3 ‗ 1 – 3 ‗ -2 ‗ -1
2 2 2 2 2
Trigonometrik Oranlarda Birisi Biliniyorken Diğerini Bulma
Verilen trigonometrik oranın tanımı hatırlanarak bir taslak dik üçgen çizilir.Bu üçge- nin üçüncü kenarının uzunluğu ne olacağı bulunur.sayının bulunduğu bölge dikkate alınarak istenen trigonometrik oranın ne olacağı bulunur.
Örnek: sinx: 4 ve 0 < x < /2 dir. Cosx:? Tanx:? Cotx?
5
4 5 cosx: 3/5 tanx: 5/3 cotx:3/4
Trigonometrik Özdeşlikler
sin
1) ve /2- için 2) ve /2+ için
P1 (-cos,sin) P2( cos, sin) sin( /2 - ) = cos sin(/2+ )=cos
Cos(/2-) =sin cos(/2+ ) =-sin
cosx tan(/2-) = cot tan(/2+ ) =-cot
cot(/2-) = tan cot(/2+ ) =-tan
P3( cos ,-sin) 3) ve - için 4) ve + için
P2( -cos, -sin ) sin(-) =sin sin(+) =-sin
cos(-) =-cos cos(+) =-cos
tan(-) =-tan tan(+) =tan
cot(-) =-cot cot(+) =cot
5) ve 3/2- için 6) ve 3/2+ için 7) , 2- ve - için
sin(3/2-)=-cos sin(3/2+) =-cos sin(2-) =sin(-) = -sin
cos(3/2-) =-sin cos(3/2+) =sin cos(2-) =cos(-) =cos
tan (3/2-) =cot tan(3/2+) =-cot tan (2-) =tan(-) =-tan
cot(3/2-) =tan cot(3/2+) =-tan cot(2-) =cot(-) =-cot
Örnekler:
Sin(5/4)= sin 225 = sin(+45)=-sin45=- 2 /2
Cos(29/6)=cos870º=cos150º=cos(-30)=cos30º=- 3/2
Tan(5/3)=tan300º=tan(2-60)=-tan60º=- 3
Cot(-11/4)=-cot735º=cot225º=cot(+45)=1
Sin150º= sin(-30)=sin30º = ½
Cos120º=cos(-60)=-cos60º=1/2
Tan855º=tan135º=tan(-45)=-tan45º=-1
Cot510º=cot150º=cot(-30)=-cot30º=- 3
Sin210º=sin(+30)=sin(-30º)=-1/2
Cos(-45)= cos45= 2/2
Tan(3/4)= -tan(45º)=-1
Fonksiyon
Örnek –1
Birim basamak f(t) fonksiyonu
Us(t) = 1 t > 0
F(t)
0 T < 0
Şeklinde tanımlanmış olsun. f(t)’nin Laplace dönüşümü
(2-18)
olarak elde edilir. Ancak (2-18 ) ilişkisi
(2-19)
koşulu altında geçerlidir; bu da s’nın gerçek kısmi ’nın sıfırdan büyük olmasını gerektirir. Uygulamada genellikle birim basamak fonksiyonun Laplace dönüşümü 1/s olarak alınır ve dönüşüm integralinin s- düzlemindeki mutlak yakınsama bölgesi ile ilgilenmez.
Örnek –2
Burada gerçek bir sabit olmak üzere
(2-20)
üstel fonksiyonunu göz önünde bulunduralım.f(t)’nin Laplace dönüşümü
(2-21)
olarak elde edilir.
Örnek –3
(2-33)
fonksiyonunu göz önünde bulunduralım.sF(s) sanal eksen ve sağ yarı s- düzleminde analitik olduğundan son değer teoremi uygulanabilir. (2-32 )ilişkisi gereği
(2-34)
elde edilir.
Örnek –4
Laplace dönüşümü f(t)= sint olan ,
(2-35)
fonksiyonunu ele alalım. SF(s) fonksiyonun s- düzlemi sanal eksen üzerinde iki adet kutbu bulunduğundan son değer teoremi uygulanmaz. Diğer bir deyişle , son değer teoremi f(t)’nin son değeri için sıfır değer verse de, bu sonuç hatalıdır.
Örnek –5
(2-45)
fonksiyonunu ele alınır ve kısmi kesirlere ayrılmış bir şekilde ifade edilirse
(2-46)
yazılabilir.
K-1, K-2 ve K-3 katsayıları şu şekilde belirlenir.
(2-47)
(2-48)
(2-49)
Böylece (2-46) fonksiyonu
(2-50)
şeklini alır.
Örnek –6
(2-57)
fonksiyonunu göz önünde bulunduralım. Eğer ( 2-52 ) ilişkisindeki yapı gereği G(s)
(2-58)
şeklinde yazılabilir. Katsız kutuplara ilişkin katsayılar
(2-59)
(2-60)
ve üçüncü mertebeden katlı kutba ilişkin katsayılar
(2-62)
olarak elde edilir. Buna göre fonksiyonun kısmi kesirlere ayrılmış şekli
(2-64)
olarak bulunur.
Örnek –7
(2-67)
fonksiyonunda ve n değerlerinin G(s) kutupları karmaşık olacak şekilde verildiğini varsayalım. Bu durumda G (s) fonksiyonu
(2-68)
şeklinde ayrıştırılabilir; burada
=n (2-69)
(2-70)
şeklindedir.
(2-68 ) ifadesindeki katsayılar
(2-71)
ilişkilerinden belirlenir. (2-67) fonksiyonun kısmi kesirlere ayrıştırılmış şekli
(2-73)
olarak elde edilir. Eğer (2-73 ) ifadesinin ters Laplace dönüşümü alınırsa
(2-74)
elde edilir.
Örnek –8
Us(t) birim basamak fonksiyonu olmak üzere
(2-76)
diferansiyel denklemini göz önünde bulunduralım. Başlangıç koşulları y(0) = -1 ve y(1)(0) = dy(t) /dt t=0 = 2 olarak verilmiş olsun. Diferansiyel denklemi çözmek için ilk önce (2-76) ilişkisinin Laplace dönüşümünü alalım:
(2-77)
ilk koşullar ( 2-77)’de yerine konur ve denklem Y(s)’e göre çözülürse
(2-78)
elde edilir. (2- 78) denklemi kısmi kesirlere ayrılırsa
(2-79)
bulunur. ( 2-79 )’un ters Laplace dönüşümü alınırsa çözüm
(2-80)
olarak elde edilir.
( 2-80 ) ifadesindeki birinci terim sürekli hal ya da zorlanmış çözülme ilişkisidir: diğer iki terim ise geçici hal ya da homojen çözülme ilişkisidir. Geleneksel çözüm yönteminde geçici ve sürekli hal çözümlerini bulmak için ayrı adımlara ihtiyaç duyulurken Laplace dönüşüm yönteminde tüm çözüm bir işlem sonucu elde edilir.
Eğer y(t)’nin sadece sürekli hal yanıtı ile ilgileniliyor ise (2-32) son değer teoreminden yaralanılabilir. Buna göre, sY(s)’in kutupları sol yarı s-düzleminde olduğuna göre son değer teoremi geçerlidir ve
(2-81)
olarak elde edilir.
Örnek –9
(2-82)
diferansiyel denklemini ele alalım.y(t) ve dy/dt’in ilk koşulları sıfırdır. (2-82)’nin Laplace dönüşümü alınır ve Y(s9’ye göre çözülürse , =0,5455 ve n =31,62 olmak üzere,
(2-83)
elde edilir. (2-83) ifadesinin ters Laplace dönüşümü birkaç farklı şekilde bulunabilir. Ek B’de Laplace dönüşüm tablosu (2-83) ifadesinin karşılığını doğrudan
(2-84)
olarak verir; burada
(2-85)
olduğundan çözüm
(2-86)
olarak elde edilir.
(2-83) ifadesi kutuplarının s =0, ve olduğu bilindiğine göre
(2-87)
yazılabilir ve (2-83) ifadesi
(2-89)
şeklinde kısmi kesirlere ayrılabilir. Burada
(2-90)
olarak bulunur. Şekil 2-4’te görüldüğü gibi açısı
(2-93)
ifadesiyle verilir.
(2-89) ifadesinin ters Laplace dönüşümü
(2-94)
Şekil 2-4 s- düzlemindeki kutupların konumu
Şeklinde elde edilir. (2-93)’te verilen ifadesi (2-94)’e uygulanırsa
(2-95)
ya da
(2-96)
elde edilir.
Örnek –10
Örneğin (2-106) determinantının değeri
(2-110)
olarak elde edilir.
Örnek –11
Aşağıdaki denklem takımını göz önünde bulunduralım:
(2-111)
üçüncü denklem ilk iki denklem toplamından oluşur. Buna göre bu üç denklem birbirinden tamamen bağımsız değildir. Bu denklemler matriksel biçimde ifade edilebilir; burada
Ax = 0 (2-112)
(2-113)
ve 0 matrisi (3×1) boyutlu bir sıfır matrisidir. A’nın determinantı 0’dır ve bu nedenle A matrisi tekildir. Buna göre A’nın satırları bağımlıdır.
Örnek –12
(2×3) boyutlu
(2-116)
matrisinin devriği satır ve sutunlar yer değiştirerek elde edilir:
(2-117)
Örnek –13
2×2 boyutlu
(2-123)
matrisini ele alalım.
Eşçarpanları olarak bulunur. Bu durumda A’nın ek matrisi
(2-124)
şeklindedir.
Örnek-14
(2-129)
olmasını gerektirir.
Örnek –15
Boyutları aynı olan
(2-132)
matrislerinin toplamı
(2-133)
şeklindedir.
Örnek –16
A = aij 2,3 B = bij 3,1
Matreisleri verilmiş olsun. Bu iki matris AB çarpımı oluşturmaya uygun ancak BA çarpımını oluşturmaya uygun değildir. Buna göre;
(2-141)
Örnek –17
(2-142)
şeklinde verilmiş olsun. İki matris AB ve BA çarpımı içinde uygundur:
(2-143)
(2-144)
Görüldüğü gibi AB ve BA çarpımları tanımlı olmalarına rağmen eşit değildir. Bu durumda boyutları bile farklıdır.
ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER
Aritmetik Dizi
TANIM
Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir. Diğer bir ifadeyle n N+ için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir.
ÖRNEK
(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.
an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.
GENEL TERİM
Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir.
5
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
…………………………..
an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.
Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.
ÖRNEK
İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?
a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d
an = 8 + (n – 1) 2
an = 2n + 6’dır.
ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ
Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir.
p – k
ÖRNEK
39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)
d = (22 – 19)/6
d = ½’ dir.
a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :
d = b – a dır.
n + 1
ÖRNEK
- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4
Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,
Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da
2
Sn = n (a1 + an) olur.
2
Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k
a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,
a26 = (a19+a33)/2
a26 = (42+88)/2
a26 = 65’tir.
GEOMETRİK DİZİ
TANIM
Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir. Diğer bir ifadeyle
n N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak
an
çarpan veya ortak oran denir.
ÖRNEK
(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.
(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir.
GENEL TERİM
Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda,
a1 = a1
a2 = r.a1
a3 = r.a2 = r2.a1
a4 = r.a3 = r3.a1
Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir.
ÖRNEK
İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?
a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 . a1
an = (1/2)n – 1 . 4
an = 23 – n
GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ
Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur.
ak
ÖRNEK
2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?
a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2
r3 = 75/3/5
r3 = 125
r = 5 tir.
Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a1.1 – rn olur.
1 – r
ÖRNEK
İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3. terimi nedir?
a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 . (1 – r3)/(1 – r)
Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k < p iken, ap = dır.
ÖRNEK
3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?
a3 = ve a5 = (a3 . a7)1/2 6 = (3 . a7)1/2 36 = 3 . a7 a7 = 12’dir.
SONUÇ:
Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.
ÖRNEK:
Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n. terimi y’dir. Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y’ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x.6n – 1 6n = 6y/x … (*)
Sn = a1.(1 – rn)/(1 – r) = x . (1 – 6n)/(1 – 6) = x . (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir.
SERİLER
A. TANIM
(an) reel terimli bir dizi olsun.
= a1+a2+a3+ …+an + … sonsuz toplamına seri denir.
an’e serinin genel terimi denir.
Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ …+an toplamına serinin n. kısmi toplamı denir.
(Sn) = (S1,…,S2,…,S3,…,Sn,…) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir.
a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn’ dir.
b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır.
serisi yakınsak ise lim an = 0’dır. Bu ifadenin tersi doğru değildir.Yani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir.
lim an ise serisi ıraksaktır.
ÖRNEK
2n/5-n serisi veriliyor. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
an = 2n/5-n = 2n.5n = 10n dir. lim an = lim 10n = dur. lim an 0 olduğuna göre seri ıraksaktır.
B. ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER
Aritmetik Seriler
(an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir. Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)’dir. Aritmetik seri ıraksaktır.
2
ÖRNEK
(n – 10)/20 serisi veriliyor. Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz. Serinin kısmi toplamını bulunuz. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
n N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir.
a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20]
=n(n – 19)/40 =
olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır.
Geometrik Seriler
(an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir. Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a1.1-rn’dir.
1-r
|r| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1’dir.
1-r
|r| ise seri ıraksaktır.
ÖRNEK
31-n serisi veriliyor.
Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz.
n N+ için, r = (an+1)/an = 31-(n+1)/31-n = 1/3 olduğu için seri geometrik seridir.
a1 = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre,
Sn = 1 . [1 – (1/3)n]/(1 – 1/3) = 3/2[1 – (1/3)n] dir.
r = 1/3 olduğuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir. Bunu için seri yakınsaktır.
Seri yakınsak olduğuna göre toplamı 31 – n = a1/(1 – r) = 1/(1 – 1/3) = 3/2 dir.
İNTEGRAL
TANIM:
f: [a,b] R ve F:[a, b] R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir.
F’(x) dx = F(x) veya
f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
f (x) = 2×2 f’(x) = 4x 4xdx = 2×2
f (x) = 2×2 – 1 f’(x) = 4x 4xdx = 2×2 – 1
f (x) = 2×2 + 3 f’(x) = 4x 4xdx =2×2 + 3
BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:
A. f’(x) dx = f(x) + C
B. d[f (x)] = f (x) + C
C. f (x)dx = f (x) dx ( R)
D. [f (x) g(x)] dx= f(x) dx g (x)dx
E. [ f (x) dx] = f (x)
F. d[ f (x)dx] = f(x) dx
ÖRNEKLER:
1. 2x dx = x2 + C
2. d(3×2) = 3×2 + C
3. 5x4dx = 5 x4dx
4. (x3 + x)dx = x3 dx + x dx
5. [ 2x dx] = 2x
6. d (x3dx) = x3dx
ÖRNEKLER:
1.
2. 12dx = 12x + C
3.
4. (x3 + x2 – 2)2 (3×2 + 2x)dx = ?
ÇÖZÜM 4:
x3 + x2 – 2 = u (3×2 + 2x) dx = du
TRİGONOMETRİK İNTEGRAL:
A. Cos x dx = Sin x + C
B. Sin x dx = – Cosx + C
C. Sec2x dx = (1 + tan2x) dx
D. Cosec2x dx = (1 + Cot2x) dx =
=
ÖRNEKLER:
1. Cos2x . Sin x dx =
ÇÖZÜM:
Cosx = u -Sin x dx = du
Sin x dx = – du
u2 . (-du) = – u2 . du
2. Sin 3x dx = ?
ÇÖZÜM:
3. Cos (2x + 1) dx = ?
ÇÖZÜM:
LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL:
A.
B.
C. eu du = eu + C
D.
ÖRNEKLER:
1.
2. tan x dx = ?
ÇÖZÜM:
Cos x = u – Sin x dx = du
Sin x dx = – du
= – ln |u| + C = – ln |Cos x| + C
3. dx integralini yazınız.
Çözüm :
u = 3+Cos2x du = -2cosx sin x dx du = -sin2x dx
dx = = -ln IuI + c
= -ln I3+cos2xI + c
4. dx integralini hesaplayınız.
Çözüm :
u = f (x) => du = f’(x) dx
dx = = ln IuI + c
= ln If(x)I + c
= dx = ln If(x)I + c
5. integralini hesaplayınız.
Çözüm :
u = x+5 => du = dx
= = ln IuI + c
= ln Ix+5I + c
6. integralini hesaplayınız.
Çözüm :
u = 7x + 2 => du = 7 dx
= ln I7x+2I + c
7. dx integralini hesaplayınız.
Çözüm :
= 2 ln IxI + 3 ln I4x+1I + ln I2x-1I + c
8. dx integralini hesaplayınız.
Çözüm :
u = => du = dx olur.
dx = (-du) = – .du
-eu + c = -e1/x + c olur.
9. dx integralini hesaplayınız.
Çözüm :
dx = dx = sinx dx
u = cosx => du = – sinx dx olur.
dx = sinx dx =
=
İşlem ve Modüler Aritmetik
R üzerinde tanımlanan, işlemine göre 2’nin tersi nedir?
kümesinde o işlemi, şeklinde tanımlanmıştır.Bu işleme göre hangi elemanların tersi vardır?
denkliğini sağlayan en küçük üç doğal sayının toplamı nedir?
ve olduğuna göre, x kaçtır?
ise k nedir?
sayısının 31 ile bölümünden kalan kaçtır?
m ve n pozitif tam sayılardır. olduğuna göre, en küçük n değeri kaçtır?
’de, ifadesinin alabileceği kaç farklı değer vardır?
Bir doktor, sekiz günde bir gece nöbetine kalıyor. İlk defa Salı günü nöbetçi olduğuna göre, üçüncü defa Salı günü nöbetçi olduğunda aradan kaç gün geçmiş ve kaçıncı nöbetini tutuyor olacaktır?
, ise denkleminin çözüm kümesi nedir?
olduğuna göre, x’ in alabileceği pozitif en küçük iki değerin toplamı kaçtır?
çarpım sonucundan elde edilen sayının 7 ile bölümünden kalan nedir?
işleminin deki sonucu kaçtır?
de o işlemi şeklinde tanımlanıyor. ’ nin bu işleme göre etkisiz elemanı nedir?
R de tanımlı işleminin birim elemanı e’ dir. Bu işlemde hangi elemanların tersleri kendilerine eşittir?
a,b,c tek basamaklı doğal sayılar olduğuna göre sayısının birler basamağı kaçtır?
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 3 4 1
3 3 4 1 2
4 4 1 2 3
kümesinde tablo ile
tanımlı işlemi veriliyor.
değişmeli grubunda
ise x nedir?
R de tanımlı işlemi verildiğine göre nedir?
Rasyonel sayılar kümesinde ile b nin ortak bölenlerinin en büyüğü işlemleri tanımlanıyor. Buna göre; işleminin sonucu nedir?
R kümesinde “o” işlemi , için biçiminde tanımlanıyor. “o” işleminin birim elemanı nedir?
Polinomlar
polinomunun ile tam bölünmesi için c ne olmalıdır?
ise A nedir?
denkliğini sağlayan polinomlarını yazınız.
polinomlarının ile bölümlerinden kalanları eşit ise m ve n arasında nasıl bir bağıntı vardır?
polinomu için ise nedir?
polinomlarının OBEB’ i nedir?
polinomu polinomu ile bölündüğünde bölüm ve kalan polinomların dereceleri eşit olmaktadır. polinomunun derecesi en fazla kaç olabilir?
eşitliği veriliyor. polinomu x ile bölündüğünde 2 kalanını vermektedir. nedir?
olduğuna göre, polinomu nedir?
polinomu için nedir?
polinomunun çarpanlarından biri ise m nedir?
ve a nedir?
polinomları veriliyor. ise a+b+c nedir?
polinomunun derecesi nedir?
polinomu ile tam bölünmektedir. Bölüm nedir?
iken in ile bölümünden kalanı bulmak için yukarıdaki ifadede x yerine kaç konmalıdır?
polinomunun derecesi kaçtır?
polinomunun ile bölümünden kalan nedir?
polinomu ile tam bölündüğüne göre ifadesinin değeri kaçtır?
polinomu ile tam olarak bölünüyorsa a ve b arasındaki bağıntı nedir?
Çarpanlara Ayırma
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
ise a+b kaçtır?
ise işleminin sonucu kaçtır?
ifadesi sadeleşebilen bir kesir olduğuna göre, m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
ifadesinin en sade şekli nedir?
işleminin sonu nedir?
in açılımında katsayılar toplamı nedir?
olmak üzere; açılımındaki sabit terim kaçtır?
olmak üzere ifadesinin sadeleştirilmiş şekli nedir?
ve ise ifadesinin değeri kaçtır?
P O L İ N O M
Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:
a0, a1, a2, ….an-1, an R ve n N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.
an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir.
Örnek:
P(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n N kaç olmalıdır?
Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 0 den n 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2×4 + x + 4 dür.
ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM
P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.
Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.
Örnek
P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?
Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.
Örnek
P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?
Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = – 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.
SIFIR POLİNOMU
P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.
Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.
Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.
Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.
SABİT POLİNOM
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve a0 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.
0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.
Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.
Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.
İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ
Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.
n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
A(x) = B(x) an = bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.
Örnek
A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.
Çözüm
A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x) 5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.
POLİNOM FONKSİYONLARI
P : R R
x P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.
P : R R
x P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.
Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.
Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.
II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.
Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.
Çözüm
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2 h –2 = x’i yerine yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.
POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.
Örnek
P(x) = 2×4 + 5×3 – 3×2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.
Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.
POLINOMLARDA İŞLEMLER
Polinomlarda Toplama İşlemi
A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0
Örnek
P(x) = x3 + 2×2 – 3x + 1, Q(x) = 3×2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.
Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4
= x3 + 5×2 + (3-3) x + 5 dir.
Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.
Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.
İki Polinomun Farkı
P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.
Örnek
A(x) = 5×4 + x3 – 3×2 + x + 2 ve
B(x) = – 5×4 + x3 + 2×2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.
Çözüm
B(x) = -5×4 + x3 + 2×2 + ise, -B(x) = 5×4 – x3 – 2×2 – dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5×4 + x3 – 3×2 + x + 2) + (5×4 – x3 –2×2 – )
= (5 + 5)x4 + ( – )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 – )
= 10×4 – x3 – 5×2 + x – olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.
Polinomlarda Çarpma İşlemi
A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5×3) . (-2×4) = 5 . (-2) x3+4 = -10×7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))
Örnek
A(x) = 3×4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
A(x) . B(x)
B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.
Çözüm
A(x) . B(x) = (3×4 + 1) . (x2 + x)
= 3×4 . x2 + 3×4 . x + x2 + x
= 3×6 + 3×5 + x2 + x
B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.
Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.
Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.
Değişme özelliği vardır.
Birleşme özelliği vardır.
Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.
Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.
Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.
6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)
Polinomlar Halkası
Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi;
(R[x],+) sistemi değişmeli gruptur.
R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
O halde (R[x], + , . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.
Polinomlarda Bölme İşlemi
A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü
A(x) B(x)
T(x)
.
-___________
R(x)
Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.
Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.
Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.
Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.
DerB(x) < derA(x)
Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.
Der R(x) < der B(x)
R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
der A(x) = der B(x) + der T(x)
der = der A(x) – der B(x) dir.
Örnek
P(x) = x4-2×2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.
x4 – 2×2 + x + 5 x2 + 3x – 1
_____________ = x2
x2- 3x + 8
± x4 ± 3×3 ± x2 = -3x
-__________________
-3×3 – x2 + x + 5 = 8
±3×3 ± 9×2 ±3x
-_________________
8×2 – 2x + 5
± 8×2 ± 24x ±8
-_________________
– 26x + 13
Bölüm : x2 – 3x + 8
Kalan : -26x + 13
Horner Metodu
Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.
Örnek
Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.
Çözüm
Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur.
p katsayısı aşağıya aynen yazılır.
a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.
Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.
px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a
Örnek
P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.
Çözüm
P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0 x = 2 ‘yi yerine yazalım.
Bölümün Katsayıları Kalan
-1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18
Bölümün Katsayıları Kalan
Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) = 18 bulunur.
Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma
Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k P(a) = k bulunur.
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.
Örnek
P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.
Çözüm
X – 2 = 0 x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.
Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır.
Ax + b = 0 x = olur. Polinomda x yerine yazılırsa P( ) = k bulunur. O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır.
Örnek
P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.
Çözüm
P ( ) = – 4. + 1 = – 2 + 1 = olur.
Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır.
Örnek
P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.
Çözüm
İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0 x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.
P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.
Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.
Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.
Örnek
Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.
Çözüm
(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,
P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.
P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b P(-3) = -3a + b
P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b P(2) = 2a +b olur.
-3a + b = -5
2a + b = 4
denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur. Buradan, K(x) = x + bulunur.
Örnek
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.
Çözüm
Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;
P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,
x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = – 2x + 6 olur.
bx + c – 2a = -2x + 6 b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den
a – 2 + c = 7 a + c = 9 dur.
c – 2a = 6
a + c = 9
Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Öyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8 olur.
LOGARİTMA
Üstel fonksiyon
a gerçek sayı, n pozitif tam sayı ise, an = a.a.a. … . a dır.
an sayısında üslü sayı, a ya taban , n ye üs denir.
an sayısı, “a üssü n” diye okunur.
n z+ ise an a.a . … a,
n z- ise an 1a-n ,
n 0 ise an a0 1 a 0,
n z+ ise a1/ n x a xn ,
m/n q ise am/n a1/n m dir.
Sıfırdan farklı a gerçek sayısı için, a0 1 dir.
2-5 , 2-3 , 20 , 22/3 gerçek sayıları, üstlü gerçek sayılardır.
Pozitif a gerçek sayısı için, üstleri irasyonel sayı olan a2 , a-2 , a gibi sayılar da üslü gerçek sayılardır.
Pozitif bir gerçek sayının rasyonel kuvvetleri birer gerçek sayıdır. Bu sayıların çarpımı ve bölümüne
ait özellikleri biliyoruz a, 1 den farklı pozitif gerçek sayı, x sayısının görüntüsünün ax üstlü sayısı oldugunu belirten fonksiyonu tanımladım.
Tanım: a IR+ ve a 1 olmak üzere, f : IR IR+, f(x) = ax biçiminde tanımlanan f fonksiyonuna, üstel fonksiyon denir.
f üstel fonksiyonuna göre, x gerçek sayısının (degişkenin) görüntüsü, ax üslü gerçek sayısıdır.
a pozitif gerçek sayı olduğundan, her x gerçek sayısı için f (x)= ax > 0 dır.
Örnek
f(x)= 2x ile tanımlı, f: IR IR+ üstel fonksiyonu veriliyor.
f(1), f (1/2), f(-1), f(0), f(-3) degerlerini bulalım
Çözüm
f(x) = 2x f(1)=21=2, f(1/2)=21/2 =2 1,41 … , f(-1)=2-1=1/2, f(0)=20=1, f(-3)=2-3=1/23=1/8 bulunur.
Üstel fonksiyon, üslü ifadelerde gördüğümüz bütün özellikleri IR üzerinde sağlar.
a,b IR+ , a1, b1 ve x,y IR için aşağıdaki özellikler vardır:
1. ax.ay=ax+y, 2. (ax)y=ax.y, 3. (a.b)x=ax.bx, 4.ax/ay=ax-y,
5.(a/b)x=ax/bx , 6.ax/ay=1/ay-x, 7. a0=1, 8. (1/a)x=a-x
9.aIR+ ve a1 olmak üzere, ax=ay x=y,
10. a,b IR+ ve x0 olmak üzere, ax=bx a=b dir.
Gerçek sayıların pozitif üstleri için geçerli olan özellikler, negatif üsler için de geçerlidir. Yani,
a , b IR / {0} ve x,yZ+ için:
1. a-x.a-y=a-(x+y) 2. (a/b)-x =a-x/b-x 3. (a-x)-y =a(-x)(-y) =ax.y 4. a-x/a-y=a-x+y=ay-x
5. (a.b)-x=(a-x) (b-x) 6. a-x /a-y=1/ax-y dir.
Üstel fonksiyonun grafiği
Grafik bakımından f üstel fonsiyonunu
f={(x,y) y = ax, x IR }
Biçiminde düşünelim f fonksiyonunun görüntü kümesi IR+ olduğuna göre, f fonksiyonunun grafiği,düzenlemede x ekseninin üst bölgesindedir ve (0, 1) f dir. a >1 ise f(x) = ax fonksiyonunun eğrisi ve değişim tablosu aşağıdaki gibidir.
y
x - -1 0 1 + y = ax
a >1
y=f(x)=ax 0 1/a 1 a + (x, ax)
a
1
1/z
x
-1 0 1 x
grafikte gördüğümüz gibi f fonksiyonu artandır. Buna göre
x1 < x2 için ax1 < ax2 dir.
f(x) = ax fonksiyonunun degeri, x değişkeni arttıkça artar. x değişkeni azaldıkça azalır. x = 0 iken
ax = a0 = 1 olur.
f : A B fonsiyonunda, x1,x2 A ve x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise, f fonksiyonuna, artan fonsiyon denir.
Eger 0 < a < 1 ise x değişkeni artarken, f(x) = ax fonksiyonunun değeri azalır. Buna göre fonksiyonun değişimi tablosu ve grafiği ni aşağıdaki gibidir
y
x - -1 0 1 +
y=ax
y=f(x)=ax 0 1/a 1 a + 0 < a < 1
1/a
1
a (x,ax)
x
-1 0 1 x
f: A B fonksiyonunda, x1,x2 A ve x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise, f fonksiyonuna,azalan fonsiyon denir.
Üstel fonsiyonun bire birliği be örtenliği
f(x) = ax üslü fonsiyonu için,
f(x1) = ax1 ve f(x2) = ax2 dir.
f(x1) = ise ax1 ve ax2 veya x1 = x2 dir.
x1, x2 IR ve x1x2 için, f(x1)f(x2) olduğundan, f fonksiyonun bire bir fonksiyondur.
y IR+ için, f(x) = y olacak biçiminde x gerçek sayısının varlığı gösterilebilir. Öylese, f üstel fonksiyonu örten fonsiyondur.
Logaritma fonksiyonu
Bire bir ve örten fonksiyonların terslerinin de bire bir ve örten fonksiyon olduğunu biliyorum. Üstel fonsiyonun bire bir olduğunu görmüştüm. logoritma fonksiyonu,bire bir ve örten olan üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur.
Tanım: a IR+ ve a 1 olmak üzere, bire bir ve örten olan , f: IR IR+ , f(x) = ax üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna , a tabanına göre logarima fonksiyonu denir.
a pozitif gerçek sayı a 1 olmak üzere, a tabanına göre logaritma fonksiyonu, loga ile gösterilir.
Üstel fonksiyonun tanım kümesi IR gerçek sayılar kümesi, deger kümesidir IR+ pozitif gerçek sayılar kümesidir.
logaritma fonksiyonunun tanım kümesi, IR+ pozitif gerçek sayılar kümesidir. Değer kümesi, IR gerçek sayılar kümesidir. buna göre, a pozitif gerçek sayı 1 den farklı olmak üzere, a tabanına göre logaritma fonksiyonu,
f: IR IR+; f(x) = ax ise f-1 : IR+ IR; f –1(x) = loga x = y dir.
logax yazılışı, “logaritma a tabanında x” diye okunur.
Logaritma fonksiyonunun grafiği
Bir fonksiyon ile ters fonksiyonunun grafiklerinin y = x doğrusuna göre simetrik olduğunu biliyoruz. bundan yararlanarak, y = logax fonksiyonunun grafiğini, y = ax üstel fonksiyonunun grafiğinden kolayaca elde edebiliriz.
a tabanına göre logaritma fonksiyonunun grafiğini inceleyelim:
1. a > 1 olmak üzere,loga : IR+ IR x y = logax fonsiyonunun grafiğini çizelim:
y
a > 1
y = ax y= x
x 0 1/a 1 a +
y=f(x)=ax - -1 0 1 + a
y=loga
(0, 1)
0
(1, 0) a
x1, x2 IR+, x1 < x2 y1 < y2
logax1 < logax2
olduğundan, a > 1 ise a tabanına göre logaritma fonksiyonu, artan fonksiyondur.
2. 0<< a < 1 olmak üzere,loga :IR+ IR
x y = logax
fonksiyonunun grafiğini çizelim:
0 < a < 1
y= ax
x 0 1/a 1 a + y = x
y=f(x)=ax - -1 0 1 +
(0,1)
a
0
a (1,0) 1/a
-1
y=logax
x1, x2 IR+, x1 < x2 y1 > y2
logax1 > logax2
olduğundan 0 < a <1 ise a tabanına göre logaritma fonksiyonu azlan fonksiyondur.
Örnek:
f: IR+ IR f(x)=log3x fonksiyonun tersinin grafiğini aynı analitik düzlemde çizelim ve aşağdaki soruları cevaplayalım.
a. f(x) ve f –1 (x) fonksiyonların garfikleri, y = x doğrusuna göre simetrik midir?
b. f(x) = log3x fonksiyonu artan mıdır?
c. f –1(x) fonksşyonu artan mıdır?
d. f (x) fonksiyonu altında, görüntüsü pozitif olan ree sayıların kümesini yazalım.
e. f –1 (x) fonksiyonu altında, görüntüsü negatif olan reel sayıların kümesini yazalım.
Çözüm: f: IR+ IR, f(x) = log3x ise,
f –1 : IR IR+, f –1 (x) = 3x olur,
y=3x
y =x
3
2
1 y=log3x
0
1 2 3
a. f(x) = log3x ile f –1 (x) = 3x fonksiyonları birbirlerinin ters fonksiyonları olduğundan, y = x doğrusuna döre simetriktir.
b. f(x) = log3x fınksiyonu artandır. Çünkü, her x1 < x2 için, f(x1) < f(x2) olmaktadır. (a > 1 için, logax fonksiyonu artandır.)
c. f –1 (x) = 3x fonksiyonu da artandır. (tabanı birden büyük olan pozitif reel sayıların üsleri büyüdükçesayıda büyür.Bu durum,fonksiyonun grafiğinde açıkca görülebilir.)
d. f(x) = log3x fonksiyonu altında, görüntüsü pozitif olan reel sayıların kümesi, (1 ,) aralığıdır.
e. f –1 (x) = 3x fonksiyonu altında, görüntüsü negatif olan reel sayı yoktur.
Örnek : 32 saysısının 2 tabanına göre logaritmasını bulalım
Çözüm: log232 = y 2y = 32 (tanım)
2y = 25
y = 5
Örnek : 2 tabanına göre 1/3 olan sayıyı bulalım.
Çözüm: log2x = 1/3 x = 21/3
x = 32
Örnek:
f : (-1,+) IR, f(x) log2 (x+1) fonksiyonu için f –1 (x) kuralını ve f –1 (5) değerini bulalım.
Çözüm:
1. yol
f(x) = y = log2 (x + 1) fonksiyonunda x yerine y, y yerine x yazalım.
log2 (y + 1) = x olup 2x = y + 1 ya da y = 2x – 1 olur.
Buradan, f –1 (x) = 2x – 1 bulunur.
f –1 (x) = 2x – 1 f –1(5) = 25 – 1 = 32 – 1 = 31 dir.
2.yol
f –1(5) = a f(a) = 5 tir.
f(a) = log2(a + 1) =5 olup 25 = a + 1 den, a = 32 – 1 = 31 bulunur.
buna göre , f –1 (5) = 31 olur.
Onluk logaritma fonksiyonu
Tabanına a = 10 olan logaritma fonksiyonuna, onluk logaritma fonksiyonu (yada bayağı logaritma fonksiyonu) denir.
onluk logaritma fonksiyon, log10: IR IR, f(x) = y = log10x =log x tir.
Herhangi bir karısıklığa meydan vermedikçe log10 yerine log kullanılır
Örnek:
log100, log10, log1/10 degerlerini bulalım
Çözüm:
100 = 102 , 1/10 = 10 –1
log = log10102 = 2
log10 = log1010 = 1
log1/10 = log1010 –1 = -1
Dogal logaritma fonksiyonu
Neper tarafından logaritma için taban olarak e sayısı, seçilmiştir. e sayısı, yaklaşık değeri 2,71828182845 olan irrasoyonel bir sayıdır ve bilimsel hesaplarda çok kullanılır.
Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. “In” biçiminde gösterilir;
yani loge = In dir. buna göre,
loge : IR+ IR, f(x) = y = logex = In olur
In: IR+ IR, y = In x fonksiyonunun grafğini çizelim:
Inx = logex ve e = 2,718281… dir
Fonksiyonun değişim tablosunu ve ğrafini çizelim
x 0 1/e 1 e +
y = Inx - -1 0 1 +
y
y = In
1
1/e
x
0 1 e 10
-1
Logaritma fonsiyonunun özelikleri
Torem: a ve a IR+ için:
a. logaa = 1
b. loga1 = 0
İspat:
a. logaritma fonksiyonunun tanımına göre
logaa = t at = a t = 1 olur. (a1 = a)
logaa = 1 dir.
log1010 = 1, log33 = 1, Ine = logee = 1 dir
b. loga1 = p ap = 1 =0 olur. (a 0 için, a0 =1
öyleyse, loga1 = 0 dır
log1010 = 0, log21 = 0, loge1 = 0 dır.
Pozitif iki reel sayının çarpımının logaritması
Teorem: x, y IR+ için loga(x.y) = logax + logay dir. pozitif iki sayının çarpımının logaritma, bu sayıların logaritmalarının toplamına eşittir
İspat: p ve q sayılarını alalım. p nin a tabanına göre logaritması x, q nun a tabanına göre logaritması y ise, x = logaq olup
ax = p ve ay = q dur.
ax = p, ay =q eşitliklerini taraf tarfa çarpıp,
x = logap, y = loga q eşitliklerini de taraf tarafa toplayalım:
1. ax . ay = p . q
ax + y = p . q logaax + y = logap . q
x + y = logap . q dur.
2. x = loga p
+ y = loga q
x + y = loga p + loga q dur.
1 ve 2 den, loga p . q = loga p + loga q olur.
x,y,z reel sayıları için,
loga(x . y . z) = loga x + logay + logaz olduğunu gösterelim;
loga(x . y . z) = loga[(x. y) . z] = loga(x . y) + logaz
= loga x + loga y + loga z olur.
Aynı şekilde devam edilerek, loga(x . y . z . … . t) = loga x + loga y + loga z + … + loga t olduğu görülür.
Örnekler
1. log5 15 = log5 (5 . 3) = log55 + log53 = 1+ log53 tür
2. log221 = log2 (3 .7) = log23 + log27 dir
3.log (a . b . c) = log a + log b + log c dir
4.log10 (5200) = log10 (102 . 4 . 13) = log10102 + log104 + log1013
= 2 + log104 + log1013
Teorem: a IR+ {1}, ve b IR+ olmak üzere , alogab = b dir.
İspat
1. alogab = t olsun
eşitliğin her iki yanının atabanına göre logaritmasını alalım:
logaalog ab = loga t loga b . loga a = loga t
loga b . 1 = loga t
b = t olur
1. de t yerine b yazılırsa, alogab = b bulunur.
sonuçlar
logaritma fonk siyonunun tanımına göre,
f(x) = ax ve f –1 (x) = logax için
(f o f –1 ) (x) = f [ f –1 (x)] = x alogax = x ; x > 0
(f –1 o f) (x) = f –1 [f (x) ] = x logaax = x tir.
Örnek
5log57 = 7 ; 3 –log1/35 = (1/3)log1/35 = 5 tir.
sonuç: x > 0 ve y > 0 ise, logx = logay x = y dir.
bu özellik, logitrama fonksiyonun bire bir oluşunun sonucudur.
Teorem: n Z+ ve x IR+ için, logaxn = n logax tir.
İspat
xn = x . x . x . x . … . x tir. her iki tarafın logaritması alınır.
n tane x
logaxn = logax + logax + … + logax
n tane logax
logaxn = n . logax olur.
Örnek Aşağıdaki eşitlikleri inceleyelim
a. log3 –3 = –3log3 tür.
b. log 800 = log (100 . 8) = log log (102 . 23) = log102 + log23 = 2 + 3 log 2 dir.
Teorem: p, q Z+ ve x IR+ için, loga ( qx)p = p/q logax tir.
İspat
loga ( qx)p = p . loga qx bir önceki teorem den yazılabilir.
loga qx =1/q logax tir. Buna göre,
loga ( qx)p = p(1/q logax) = p/q logax .olur
Örnek: aşağıdaki eşitliği inceleyelim
log 34 = log 322 = log22/3 = 2/3 log2
Teorem: x IR+ için, loga1/x = –logax tir
İspat
loga(x . y) = logax + logay teoremine göre,
loga(x . 1/x) = logax + loga1/x tir.
loga(x . 1/x) = loga1 = 0 dır. logax + loga1/x = 0 olur.
Buradan, loga1/x = –logax elde edilir
Teorem: x, y IR+ için, logax/y = logax – logay dir.
İspat
x/y = x . 1/y dir. loga(x . y) = logax + logay teoremine göre,
logax/y = loga(x . 1/y) = logax + loga 1/y yazılabilir.
loga 1/y = –logay dir.
loga(x/y) = logax – logay bulunur.
Örnek: log2 = 0,30103 olduğuna göre, log5 in değerini bulalım. (log 2 = log102)
Çözüm: log 5 = log10/2 = log10 – log2 = 1 – 0,30103 = 0,69897 olur.
Teorem: Her p/g rasyonel sayısı ve x IR+ için log x p/q = p/q log x tir
İspat
Her p/g rasyonel sayısı için q > 0 varsayılabilir.
Böylece, xp/q= (x1/q)p= (qx )p yazılabilir
p > 0 ise loga (qx )p = p/q logax teoremine göre
logxp/q = log (qx )p = p/q logx elde edilir.
p 0 ise loga 1/xn = -n logax teoremine göre,
logxp/q = log (qx )p = plog qx yazılır.
log qx = 1/q logx olduğu göz önüne alınırsa,
logxp/q = p . 1/q logx =p/q logx elde edilir.
Örnek:
a. x,y,z pozitif gerçek sayılardır. loga x3 y2/ z2 ifadesini, logaritmalarının toplamı ve farkı.
biçimde yazalım.
b. loga 3+ loga (2x-3) –1/2 loga (x-3) ifadesini, bir ifadenin logaritması biçimde yazalım.
Çözüm
a. loga x3 y2/z2 = loga (x3 y2 ) – loga z3 = loga x3 + loga y2 – loga z2
= 3loga x + 2loga y-2logaz olur.
b.loga3+loga (2x-3) –1/2 loga (x-3) 0 loga3(2x-3) –loga(x-3)1/2 =loga 3(2x-3)/x-3 bulunur.
TABAN DEĞİŞTİRME KURALI
TEOREM: a,b IR+ {1} ve c IR+ için, loga b. logb c = loga c dir.
İspat
loga b = x ve logb c= y olsun.
ax = b (ax)y = by
axy = c x . y = loga c olur.
by = c
x ve y yi yerlerine yazalım:
loga b . logb c = loga c bulunur. Bu eşitlikten,
logb c= logac/ logab sonucuna varılır. Bu eşitliğe taban değiştirme kuralı denir.
Sonuç:
a ve b, 1 den farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere ,
logab = 1/logba ve loga b. logb a= 1 dir.
loga b ifadesini , b tabanına göre logaritma ifadesi biçiminde yazalım:
Taban değiştirme bağıntısına göre,
logab =logbb/logba logab= 1/logba (logbb=1)
logab .logba =1 olur.
Örnek: x IR; logx 5= a ve logx 7=b ise log49 125 değerini bulalım.
Çözüm: logx 5= a ve logx 7=b dir. log49 125 ifadesini x tabanına yazalım:
log49 125 = logx125/logx49 = logx53/logx72 = 3. logx5/2.logx 7 =3a/2b elde edilir.
Örnek: logax/logabx ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm: logax= 1/logxa ve logabx = 1/logxab dir.
logax/logabx = 1/logxa / 1/ logxab= logxab/logxa = logxa+logxb/logxa =1+ logxb/logxa = 1+loga b elde edilir.
Teorem: a,b IR+, m,n IR, a 1, n 0 ise, loganbm = m/n . loga b dir.
İspat
loganbm ifadesini taban değiştirme bağıntısına göre yazalım :
loganbm = logabm / logaan = m/n.logab olur.
Örnek: log5/7 3343/125 = log5/7 (343/125)1/3 =1/3 log5/7 (73/53) =01/3 log5/7 (7/5)3
= 1/3 log5/7 (5/7)-3 ( (a/b)n = (b/a)-n dir. )
= – 3/3 log5/7 (5/7) = -1 . 1 = -1 bulunur.
Logaritma Fonksiyonunun Değişimi
Logaritma fonksiyonun grafiğini üstel fonksiyon yardımıyla çizmiştik. Bu fonksiyonun ne zaman artan ne zaman azalan olduğunu araştıralım.
Teorem: a 1 için, f (x) = loga x artan bir fonksiyondur.
İspat
x1 , x2 IR+ için x1 x2 loga x1 loga x2
önermesinin doğru olduduğunu göstermek teoremi ispatlamak için yeterlidir.
loga x1 = u ve loga x2 =0 v olsun.
loga x1 = u x1 = au
loga x2 = v x2 = av dir.
Diğer taraftan, a olduğundan,
x1 x2 au av u v
loga x1loga x2 bulunur.
Teorem: 0 a 1 için, f (x) = logax azalan bir fonksiyondur.
İspat
x1 , x2 IR+ için, x1 x2 loga x1 loga x2
önermesinin doğru olduğunu göstermek yeterlidir.
loga x1 = u ve loga x2 =0 v olsun.
loga x1 = u x1 = au
loga x2 =0 v x2 =0 av dir.
Diğer taraftan, 0 a 1 olduğundan,
x1 x2 au av u v loga x1 loga x2 bulunur.
Onluk logaritma
Sayıların 10 tabanına göre logaritmalarına, onluk logaritmalar denir. Sayıların logaritmalarını bulmak için 1 den 10000 e kadar doğal sayıların onluk logaritmalarını veren cetveller hazırlanmıştır. Bu cetvellerin bazıları sayıların onluk logaritmalarını dört ondalık basamağa kadar verir. Logaritmaların büyük çoğunluğu sayıların logaritmalarının yaklaşık değerleridir.Bu kesimde cetvellerin nasıl kullanıldığını öğreneceğiz.
Önce, k Q olmak üzere, 10k biçiminde sayıların 10 tabanına göre logaritmalarını cetvelden yararlanmadan bulalım:
log10 100 = log10 1 = 0 , log101/101 = log10 10-1 = -1. log10 10= -1
log10101 = log1010 = 1 , log10 1/102 = log10 10-2 = -2 . log1010= -2
log10 102 = 2.log10 10=2 , log10 1/103 = log10 10-3 = -3 . log10 10 = -3
… …
Her kQ için log1010k = k. log10 10= k dır.
Örneğin;
log10 3 100 = log10 3 102 =log10 102/3 =0 2/3 tür.
log10 10 3 = 3 , bazı sayıların logaritması irrasyoneldir.
Teorem: 1 den büyük bir reel sayının onluk logaritması, pozitif bir reel sayıdır.
İspat
n Z+ ve x IR+ olmak üzere, 1 x 10n olsun
1 x 10n log 1 log x log 10n
0 log x n. log 10 (log 10 =1 )
0 log x n olur.
O halde, log x 0 dır. Yani pozitif bir reel sayıdır.
Teorem: 1 den jüçük pozitif bir reel sayının onluk logaritması, negatif bir reel sayıdır.
İspat
n Z+ ve 0 x 1 olmak üzere, 10-n x dir.
10-n x 1 log 10-n log x log 1
-n log 10 log x 0
-n log x 0 olur.
O halde, log x 0 dır. Yani negatif bir reel sayıdır.
Bayağı logaritma fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğundan
a. 2 < x < 10 0 < log10x < dir.
Bir basamaklı bir sayının logaritması 0 ile 1 arasında bir sayıdır.Bir basamaklı bir sayının logaritması, tam kısmı 0 olan bir ondalık kesirdir. Örneğin;
log102 = 0,3010 ve log109,38 = 0,9722 dir.
b. 10 < x < 100 1 < log10x < 2 dir
Başka bir deyişle, iki basamaklı bir sayının logaritması 1 ile 2 arasından bir sayıdır.
İki basamaklı bir sayının bir sayının logaritması, tam kısmı 1 olan bir ondalık kesirdir. Örneğin;
log1018 = 1,2552 ve log10 19,38 = 1,2871 tür.
c. 100 < x < 1000 2 < log10x < 3
Yani, üç basamaklı bir sayının logaritması 2 ile 3 arasında bir sayıdır. Üç basamaklı bir sayının logaritması, tam kısmı 2 olan bir ondalık kesirdir. Örneğin;
log10200 = 2,3010 ve log10 193,8 = 2,2873 tür.
1 den büyük bir sayının logaritmasının tam kısmı, o sayının tam kısmandaki basamak sayısının
1 eksiğine eşit olan bi tam sayıdır.
Örnek:
aşağıdaki sayıların bayağı logaritmaların tam kısmlarını bulunuz
a. 3,24759 b.16,75 c.183 d.245 e.25388 f.292300
Çözüm:
a. log10 3,24759 = 0,… b.log10 16,75 = 1;… c. log10 183 = 2
d. log10 2452 = 3,… e. log10 25388 = 4,… f. log10 292300 = 5,…
Bunun gibi,
10 < a < 102 1 < log10a < 2
10 –1 < a < 1 -1 < log10a < 0
10 –2 < a < 10 –1 -2 < log10a < -1
ve genel olarak; k Z , a IR+ olamak üzere,
10k–1 < a < 10k (k – 1) < log a < olur.
Buna göre, 10k < a < 10k+1 ise log a değerinin tam kısık k dir. 0 < m <1 olmak üzere, log a değerinin ondalık kısım m ise,
log a = k + m olur .
tam ondalık
kısım kısım
Teorem: a herhangi pozitif bir gerçek sayı ise, k Z ve 0 < m < 1 olmak üzere,
log a = k + m biçiminde yazılabilir.
İspat
a IR+ syısı için, 10k < a < 10k + 1 eşitsizliğini sağlayan bir ve yalnız bir k Z olduğunu biliyoryz. Burdan,
10k < a < 10k + 1 k < log a < k + 1 olur.
m IR ve 0 < m < 1 olmak üzere, log a = k + m yazılabilir.
tanım
Bir sayının logaritmasının tam kısmına, karakteristik; ondalık kısmına, mantis denir.
Her pozitif gerçek sayının onluk logaritmasının karateristiğini (tam kısmını) kolayca buluruz.
Mantis (onadalık kısım) için, logaritma cetvelinden yararlanılır.
Örnek
Aşağıdaki sayıların logaritmalarının karakteristiklerini bulunuz
a. 0,5 b.0,0402 c. 0,000888
çözüm
a. 0,1 < 0,5 < 1 log10 –1 < log 0,5 < log1
-1 < log 0,5 < 0
log 0,5 = -1 + m (0 < m< 1)
1 sıfır
b. 0,01 < 0,0402 < 0,1 log10 –2 < log 0,0402 < log10 –1
-2 < log 0,0402 < -1
log 0,0402 = -2 + m (0 < m < 1)
2 sıfır tam kısım
c. 0,0001 < 0,000888 < 0,001 log10 –4 < log 0,000888 < log 10 –3
-4 < log 0,000888 < -3
log 0,000888 = -4 + m ( 0 < m < 1)
4 sıfır tam kısmı
O halde, karakteristik –4 tür. bunu 4 biçimin de göteririz . k Z+ olmak üzere, karakteristik –k
ise bunu k şeklinde gösteririz.
0 ile 1 arasınsaki bir sayının logaritmasının karakteristliği, sıfırdan farklı rakamın solundaki sıfır sayısının negatif işaretilisidir.
Teorem: x IR+ ve n Z olmak üzere, log10x ve log10(x.10 n) sayılarının manitisleri aynıdır.
İspat
log10x sayısını karakteritiği k, mantisi m olsun.
Bu durmda, log10x = k + m ( k Z, 0 < m < 1) olur
log10(x . 10 n) = log10 x + log10 10 n = k + m + n . log10 10 = k + m + n
=(k + n) + m 1 dir .
n Z ve k Z olduğundan, (k+n) Z dir. Bu nedenle, log10 ( x. 10n) sayısının karakteristiği, k+n; mantisi de m olur.
Bir sayı, 10 un herhangi bir tam kuvveti ile çarpıldıgında ya da bölündüğünde, elde edilen sayıların logaritmalarının mantisleri aynıdır.
Örnek:
log 313 = 2,4942 ise log 31,3 sayıaının eşitini bulalım.
Çözüm:
1.yol
log 31,3 = log 313 . 10-1 = log 313 + log 10-1
= 2,4942 – 1 = 1,4942 olur.
2.yol
31,3 sayısı, 313 sayısının 1/10 u olduğundan, bu sayıların logaritmalarının mantisleri aynıdır.
log 31,3 sayısının karakteristiği 1 ve mantisi 0,4942 olduğundan,
log 31,3 = 1,4942 olur.
Örnek:
log a = -1 + 0,0201 ise:
a. 106 .a b. 10-4 . a sayılarının logaritmalarını bulalım.
Çözüm:
a. log (106 . a ) = log 106 + log a = 6 + (-1 + 0,0201 ) = 5 + 0,0201 = 5,0201
b. log ( 10-4 . a) = log 10-4 + log a = – 4 + ( -1 + 0,201) = -5 + 0,0201 = 5,0201 olur.
Örnek:
log x = -3,1512 olduğuna göre, log x in karakteristiğini ve mantisi bulalım.
Çözüm:
log x sayısını, bir k tam sayısı ile sıfırla bir arasında bir m gerçek sayısının toplamı olarak yazmamız gerekir.
log x = -3, 1512 = -3 + (-0,1512)
= -3 + (1 – 0 ,1512) –1
= -4 + 0,8488 = 4,8488
log10 x sayısının karakteristiği –4, mantısı 0,8488 dir.
Mantis negatif olmaz. Bunun için eşitliğinin sağ tarafına 1 I bir defa ekleyip, bir defa da çıkarttık.
Örnek:
log 0,00843 = -2,0742 ifadesinin karakteristiğini ve mantisini bulalım.
Çözüm:
log 0,00843 = – 2,0742 ifadesi log 0,00843 = – 2 – 0,0742 şeklinde yazılır.
Mantis negatif olmaz. Eşitliğin sağ tarafına 1 I bir defa ekleyip, bir defa da çıkaralım:
log 0,00843 = (- 2 –1 ) + ) ( 1- 0,0742) = -3 + 0,9258 şeklinde yazılmış olur.
log 0,00843 ün karakteristiği –3 ve mantisi de 0,9258 dir.
Logaritma hakkında ek bilgi
1. Sıkı pozitif bir x gerçek sayısının a tabanlı ( ya da a tabanına göre ) logaritması ( a, 1 den faklı sıkı pozitif gerçek sayı ), ay = x olan pozitif y gerçek sayısı. ( Bu sayı y = loga x ile gösterilir, bu, loga biçiminde gösterilen a tabanlı logaritma fonksiyonuyla x in görüntüsüdür. Sayısal hesapta en çok kullanılan taban 10 dur; bu durumda log x biçiminde gösterilen, x in ondalık logaritma fonksiyonuyla görüntüsü olan x in ondalık logaritmasından söz edilir.Tabanın e gerçek sayısı olması halinde ise;
log x ya da In x ile gösterilen x in Napier logaritma fonksiyonuyla görüntüsü olan x in Napier logaritmasından söz edilir )
2. Logaritma cetveli sayısal hesapta kullanılan ondalık logaritmaların ya da Napier logaritmalarının değerlerini elde etmeye yarayan cetveldir. ( En genel halde cetveller beş ondalıklı yaklaşık değerler verir. Ondalık logaritmalar için cetveller logaritmaların mantislerini vermektir. )
Mat. çözlm. Logaritmaların belirtimi logaritma fonksiyonun belirlenmesinin göstermeye yarayan yanlış kullanılmış ifade. a tabanlı logaritma fonksiyonu, IR+ üzerinde tanımlı x Inx/Ina fonksiyonu burada a, 1 den farklı sıkı pozitif bir gerçek sayıdır. (Gösterilişi: loga ) Ondalık logaritma fonksiyonu, 10 tabanlı logaritma fonksiyonu ( Gösterilişleri: log10 , log ya da Ig. ) Napier logaritma fonksiyonu, IR+ üzerinde tanımlanmış ve x 1/x fonksiyonunun, x = 1 için sıfır olan ilkeli. (Gösterilişleri: log,In, kimi kez log ) Ters logaritma, ÜSLÜ’ nün yanlızca 10 tabanı için kullanılan eşanI. ( x, y ondalık logaritması ise y de z in ters logaritmasıdır denir.)
ANSİKL. Mat. çözlm. Logaritma fonksiyonları,
f ( x.y ) = f (x) + f (y)
fonksiyonel denklemin çözümü olarak, ( IR+, x ) ten ( IR, + ) içine, IR+ üzerinde türevlenebilir bir benzer yapı uygulaması olmak koşuluğuyla f arandığında elde edilir.
Çözümlerin kümesi,
0 < a < 1 ve a > 1 için loga x
fk : x k . x 1/t . dt
fonksiyonlarından oluşur burada k. keyfi gerçek bir değişmezdir.
0 < a < 1 ve a > 1 için loga x
logaritma fonksiyonların değişim tabloları
için 0 < a < 1 için a > 1
x 0 a 1 + x 0 1 a +
+ +
loga x loga x
1 1
0 0
- -
MANTIK
Doğruluk değeri aynı olan önermelere DENK ÖNERMELER denir.
Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen önermeye O ÖNERMENİN OLUMSUZU denir.Simgesi
(p’) dir.
En az iki önermenin V(veya) , (ve),(ise),(ancak ve ancak ise) bağlaçlarıyla birleştirilerek oluşturulan öner-
melere BİRLEŞİK ÖNERME denir.
V (VEYA) BAĞLACI
P ve q önermeleri verilsin .En az biri doğru iken doğru, ikisi de yanlış iken yanlış olan önermedir .p V q (p veya q)
P q p V q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
VE BAĞLACI
pq önermeleri verilsin. Her ikisi de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlış olan önermelerdir.pq (p ve q)
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
t p q p’ q’ p vq pq p’vq’ p’q’ p’vq p’q pvq’ pq’
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0
ÖZELLİKLER
1-)P V P P (v nin tek kuvvet özelliği)
2-)P P P( nin tek kuvvet özelliği)
3-)P V qqVp/(V nin değişme özelliği)
4-)Pq q p( nin değişme özelliği)
5-)P V (q V r) ( p Vq ) Vr (V nin birleşme özelliği)
6-)p (q r) (pq) r( nin birleşme özelliği)
7-)p V (q r) (p V q) (p V r )(V nin üzerinde dağılma özelliği)
8-)p (q V r) (p r ) V ( q r) ( nin V dağılma özelliği)
9-)( p V q)’ p’q’ DE MORGAN
10-)( P q)’ p’ V q’ KURALI
TOTOLOJİ VE ÇELİŞME
Bir bileşik önerme kendisini oluşturan önermelerin her değeri için daima doğru ise Totoloji , daima yanlış ise çelişme denir.
p P’ Pvp’ pp’
1 0 1 0
0 1 1 0
Totoloji Çelişme
ÖZELLİKLER: 1-)PV11
2-)PV0P
3-)P00
4-)P1P
5-)PVP’1
6-)PP’0
() İSE BAĞLACI
İki önermenin ise () ile birleştirilmesiyle oluşan önermelerdir.Bu öneermelere KOŞULLU ÖNERME denir.Koşullu önermenin değeri 1 ise GEREKTİRME adını alır.
Pq (p ise q )şeklinde gösterilir.P nin doğru q nun yanlış olduğu durumlarda yanlış , diğer durumlarda doğrudur.
p q Pq
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
pq NIN KARŞITI, TERSİ VE KARŞIT TERSİ
BİR PQ koşullu önermenin karşıtı qp koşullu önermesidir.
pq koşullu önermenin tersi p’q’koşullu önermesidir.
pq koşullu önermenin karşıt tersi q’p’ koşullu önermesidir.
() İSE BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
1-)PQq’p’
2-)pq p’vq
3-)pp1
4-)p11
5-)p0p’
6-)1pp
7-)op1
8-)pp’p’
9-)p’pp
10-)pqqp
11-)p(qr)(pq)r(birleşme özelliği yok)
Ölçü Sistemleri ve Birimler
Sitemizde bu konuya yer ayırmamış olsak, büyük bir katliama biz de gözyummuş olacaktık. Katliam diyerek fazla abartmıyoruz aslında. Çünkü üniversitedeki profesörlerden, okullardaki öğretmenlere hatta televizyonda haber bültenlerini sunan insanlara kadar, çok fazla cehalet gösterisiyle karşı karşıyız. Gerek üniversite, gerek ilköğretim kitaplarında birim sistemlerini doğru şekilde (yeralıyorsa tabi!) görmek mucize neredeyse.
Yapılan Yanlışlar
Uzunluğun bir fiziksel büyüklük, biriminin metre, birim simgesinin (sembolünün) “m” olduğu, yani bu üç kavramın farklı şeyler olduğunu belirttikten sonra yapılan yanlışlıklara değinelin biraz. Zaman büyüklüğünün birimi olan saniyenin simgesi “sn” değil, “s” olduğu nasıl gözardı edilebilir? Kilogramının simgesinin “kg” olduğu herkesce bilindiği halde, iş gramı yazmaya geldiğinde yanına fazladan bir “r” eklemenin (gr) mantığı ne olabilir? kg daki “k” sadece kilo anlamındadır, o olmayınca yerine başka harf eklemek çok zekice olmalı; doğru gösterim sadece “g” dir. Aynı yanlış litrede de kendini göstermekte. Litrenin simgesi “l” olduğu halde, bunu “lt” yazanların yanında, mililitreyi de “mlt” yazma becerisini gösterenler az değil. Hatta “mLt” , “mL” şeklinde yazan yaratıcı insanlarımızı, yazarlarımızı kutluyoruz. Hatta bu da yetmezmiş gibi bir de simgenin yanına sanki “Dr.” gibi kısaltma yazıyormuş gibi nokta koyanlar da (kg.) işi daha sağlama olıyor olmalı.
Bir de dikkatimizi çeken hava durumunu sunan güzel insanlarla ilgili. Sıcaklıkla ısının farkını dahi bilmeyen bilgili sunucularımızın, hava sıcaklığı 20°C ‘yi, yirmi derece celsius (selsiyus) yerine yirmi santigrad derece diye okumalarına şaşmamalı. Zaten ders kitaplarında da sıcaklık konusu işlenirken doğrusu (celsius) gösterilmekte, ama aynı kitabın diğer bölümlerinde yine santigrad dereceye geri dönülmekte. Hava durumu sunucularının yaptığı bir başka güzellik ise, örneğin “- 5°C” yi “eksi beş” yerine “sıfırın altında beş” olarak okumaları.
Kütle ve ağırlığın aynı kavram olarak bilinmesi gibi birçok yanlışı anlatıp örnekleri uzatmaktansa konuya başlamak daha doğru herhalde.
Ölçü Kavramı
İnsanoğlunun yaşamında ölçüye, bir şeyin uzunluğunun, büyüklüğünün ve ağırlığının mukayesesine, o halde ölçü birimlerine ihtiyacı vardır ve bu kıyaslama ihtiyacı onun varoluşu ile başlamıştır. Bunun neticesi insanoğlu tek başına ve tabii toplumda yaşarken de önceleri vücudunda ve çevresinde gözlediği basit doğal ve yerel mukayese ve mikyas vasıtalarına başvurmuş ve onları kullanmıştır.
Mesela uzunluk ölçümünde parmak, karış, ayak, adım; genişlik ölçümünde ayak, karış, evle; kütle ve ağırlık ölçümünde avuç, parmak ucu, yudum, sepet ve libre gibi. Bunların bazıları, toplumun veya ülkenin kendine has veya müşterek resmi ölçü birimleri haline gelmişti.
Yıllarca her ulus veya bölge kendisine özgü bir ölçü sistemi ve birimler kullana gelmiştir ve bunlar arasında genellikle uluslararası bir bağlantı da yapılamamıştır, bir birliğe gidilememiştir.
Yaşam seviyesi yükseldikçe, ticaret geliştikçe, bilim dalları genişledikçe, teknik oluşumun önemi arttıkça, ulaşım, iletişim, haberleşme genişleyip uluslararası temaslar yayıldıkça, her alanda müşterek ölçü birimlerine ve ölçülerin standartlaşmasına gitmek zarureti doğdu.
Fransız İnkılabından iki yıl sonra, yani 1791’de geliştirilen ve ondalık sistemi esas tutan Metre Sisteminin tesbit edilmesi ve kabulünden sonra Ölçü sistemleri ve Birimler üzerinde ciddiyetle durulmuş, zamanla mevcut ölçü sistemlerinin genel kullanılışı yüzünden tam uygun olmaması görüşleri açıklanmıştır.
Nihayet Paris’teki “Ölçü ve Ağırlık Konferansının” 11. 12. toplantılarında yeni, pratik ve her alanda kullanılabilen bir sistem kabul edilmiş ve 14/10/1971 tarihinde aynı Konferansteki kararın neticesi bu Genel Konferansın emrinde çalışan “Comite International des Poids et Mesures” tarafından açıklanan “(SI) Sisteme International d’Unites”, Metrik Sistemin kabulunden tam 180 yıl sonra geçer olmaya başlamış ve yasallaşmıştır.
Metrik Ölçü Sistmelerine geçmeden önce birimin tanımını vermeliyiz.
Birim: Aynı cinsten olan, aynı ölçü ile tesbit edilen aynı dimansiyonlu, fizksel büyüklüklerin sayısal değerinin tesbiti için mukayese (karşılaştırma) büyüklüğüdür. Genel anlamda iki çeşit ölçü birimi vardır:
1. Doğal ölçü birimleri : Mesela saniye gibi. Doğal ölçü birimlerinin her yerde ve her zaman röprodüksiyonu yapılabilir.
2. Cisimli, yani cisimlendirilen ölçü birimleri (normal ve protip) : Mesela kilogram gibi. Bunların elverişli ve uygun şartlar altında değeri değişmez.
Metrik Sistem
Metrik sistem, Fransız Devriminin ortasında (1791-1795) Fransa’da geliştirilen ve uzunluk birimi olarak metreye dayanan ondalık sistemdir. Önce metre üzerine, daha sonra metre ve kilogram üzerine tanzim edilen uzunluk ve kütle ölçü birimlerinin ve bunların küçük ve büyük ondalık taksimatlı büyüklüklerin sistemine daha sonraları, zaman birimi olarak saniye de ilave edilmiştir.
Metrik ölçüler ve ağırlıklar 1875 yılında imzalanan Metre Anlaşmasına (Metre Konvansiyonuna) üye olan bütün ülkelerde bugün bilimde, ekonomik ve teknik alanda kullanılmaktadır.
Yıllarca ülkeler serbest olarak kendine özgü veya müşterek uzunluk ve ağırlık ölçü birimleri ve adları kullanılıyordu. Fakat ilk kez Fransız Parlementosu 1795 tarihinde bu hususu, dolayısıyla ölçü sistemini ele aldı ve Fransa’da uzunluk birimi için metre’nin ve ağırlık birimi için de gramın (kilogramın) tanınması kabul edildi. Böylece Fransa’da uzunluk birimi için çnce Paris’ten geçen Dünya meridyeninin kırk milyonda birine eşit olan metre kabul edildi. Madde kütlesi için gram birimi ise önce buzun eridiği 0°C sıcaklıktaki 1 cm3 suyun kütlesine eşit alındı. Sonraları bunun yerine gram birimi için suyun yoğunluğunun en büyük olduğu 4°C sıcaklıktaki 1 cm3 suyun kütlesine eşittir denildi.
Daha sonraları Devletlerarası bir anlaşma olan “Metre Konvansiyonu” 1875 tarihinde kuruldu ve imza edildi. Bu anlaşmanın en yüksek organı en az her altı yılda toplantı yapan “Ölçü ve Ağırlık Konferansıdır” dır. Metrik ölçüler ve ağırlıklar, Metre Konvansiyonuna üye olan bütün ülkelerde bugün bilimde, ekonomik ve teknik alanda kullanılmaktadır.
1898 – 1907 yılları arasında, Paris’ten geçen Dünya Meridyenini esas tutan bu metre sisteminin hassas olmadığı ve hatalı olduğu belirlenmeye başladı. Bu şekilde sonradan esas birimlerin fiziksel definisiyonlarına ve dolayısıyla tesbitine geçilmiş oluyordu. Bunun üzerine 1927 yılında yapılan 7. Metre Konversiyonu Genel Toplantısında tecrübe mahiyetinde kuru havadaki Cadmium ışığının kırmızı çizgisinin dalga uzunluğu boyu ile protip esas metre eşitliği kabul ve tesbit edilmişti.
1945’ten sonra izotopların ayrılması sayesinde kadmiyumdan vazgeçildi. Onun yerine daha hassas olan Kriptonun 86. İzotopunun ışınlanmanın portugal spektral çizgisinin dalga uzunluğu seçildi. Yani yeni protip uluslararası muteber 1 m = 1650763,73 oldu.
Tedirgin edilmemiş bir atomun optik ışınmasının boşluktaki dalga boyunun her an ve her yerde hazırlanması mümkün olan bir ölçektir. O halde metrenin bu yeni tanımı daha büyük bir hassasiyet ve uzunluğunun değişmeden kalması için büyük bir garanti verir. Halbuki ilk zamanlar uygulanan maddesel örnekler (platin ve iridyumdan yapılan örnekler) zamanla çeşitli etkiler altında şekil ve boyut değişikliğine uğrayacaklardır.
Buna göre Metre Temel uzunluk ölçüsü biriminin (sembolü m) tesbit ve tanımı şöyle yapılır: Kripton 86 atomunun 2P10 ve 5 dm seviyeleri arasındaki geçişine tekabul eden ışımanın boşluktaki dalga boyunun 1650763,73 katına eşittir.
Metrik Ölçü birimlerinin desimal (ondalık) büyüklükleri ve desimal küçük kısımları : (bu kavramlar SI Uluslararası Birim Sistemide de aynıdır.)
T tera = 1012 1 000 000 000 000
G giga = 109 1 000 000 000
M mega = 106 1 000 000
k kilo = 103 1 000
h hekto = 102 100
D (da) deka = 101 10
birim = 1
d desi = 10-1 0,1
c senti = 10-2 0,01
m mili = 10-3 0,001
µ mikro = 10-6 0,000 001
n nano = 10-9
p piko = 10-12
f femto = 10-15
a atto = 10-18
. Buna göre, uzunluk birimi metreyi esas tuttuğu ve yukarıdaki onluk katları ve kasimatı içine aldığı için adına Metrik Sistem denilmiştir.
Bütün ölçü sistemlerini tanıtmaya geçmeden önce, yukarıdaki metrik sisteme göre pratikte kullanılan bazı büyüklüklerin ölçü birimlerini görelim:
Kütle Ölçüleri
1 gram (g) = 1000 miligram (mg)
1 dekagram (dag) = 10 g
1 kilogram (kg) = 1000 g
1 kental = 100 kg
1 ton = 1000 kg
Uzunluk Ölçüleri
1 metre (m) = 10 dm
1 desimetre (dm) = 10 cm
1 santimetre (cm) = 10 mm
1 kilometre (km) = 1000 m
Yüz Ölçüleri
1 metrekare (m2) = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2
1 ar (a) = 100 m2
1 dekar (da) = 1000 m2 = 10 a
1 hektar (h) = 10 da = 10 000 m2 = 100 a
1 kilometrekare (km2) = 100 h = 1000 da = 1 000 000 m2
Mekan ve Boşluk Ölçüleri, Sıvı Ölçüleri
1 metre (kübik) küb (m3) = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3
1 litre (l) = 1 dm3
1 hektolitre = 100 l
Basınç Ölçüleri
mili bar (mbar), milimetre cıva sütunu (mm Hg, Torr)
1000 mbar = 750 mm Hg.
1 bar = 1000 mbar = 1 000 000 Pascal (Pa)
Güç Ölçüleri
1 kilowatt (kW) = 1000 Watt (W)
1 mega Watt (MW) = 1000 kW
1 Beygir kuvveti = 735,5 W
Elektrik Ölçüleri
Akım şiddeti : 1 Amper (A) = 1000 mili amper
Gerilim : 1 Volt (V) = 1000 mili volt
Direnç : 1 ohm () = 1000 mili ohm
Elektrik yükü : 1 Coulomb = 1000 mili coulomb = 1 amper saniye
Paris’teki “Ölçü ve Ağırlık Konferansında”, 14/10/1971 tarihinde kabul edilen “(SI) Sisteme International d’Unites”, Metrik Sistemin kabulunden tam 180 yıl sonra geçer olmaya başlamış ve yasallaşmıştır. Uluslararası Birim Sistemi SI’nın kabul edilene kadar kullanılan metrik ölçü sistemlerinin tarihsel safhaları şöyle olmuştur:
1. C.G.S Birim sistemi ve buna bağlı Absolü Ölçü Sistemleri
2. M.K.S Birim sistemi veya Teknik Ölçü Sistemi
3. SI – Systéme International d’Unites, yani “Uluslararası Birim Sistemi SI”
Aşağıda görüleceği üzere C.G.S ve M.K.S birim sistemlerinin Temel Birimleri olarak cm-g-s ve m-kg-s, her alanın büyüklüklerinin ölçülmeleri için kafi gelmedi, ve her alana tatbik edilen yeni Temel Birimler tesbit edildi. Böylece Uluslararası Birim Sistemi SI’ye geçildi. Bu yeni birim sistemi ile ilgi ve bağlantısı olduğu için C.G.S ve M.K.S birim sistemleri tamamen ortadan kalkmadı ve çok kullanılmasalar bile onların da geçerliliği devam etti ve birbirlerine olan eşdeğerlikleri verildi.
C.G.S Birim Sistemi
Fiziksel büyüklükler, bu ölçü sisteminde bildiğimiz şu esas birimler ile verilir:
uzunluk cm (santimetre)
kütle g (gram)
zaman s (saniye)
ile verilir. Bu Mekanik’in fiziksel ölçü sistemidir. Biz buna cm-gram-saniye, (C.G.S) veya (cgs) sistemi deriz.
C.G.S Birim Sisteminde çok kullanılan Mekanik Büyüklükler:
M.K.S Ölçü Birim Sistemi
M.K.S Ölçü Sistemindeki esas birimler şunlardır:
Uzunluk birimi m (metre)
Kuvvet birimi kg (kilogram) veya kp (kilopord)
Zaman birimi s (saniye)
Bu birimler nedeniyle, bu sisteme M.K.S (Metre – Kilogram – Saniye) ölçü birim sistemi veya Teknik Ölçü Birim Sistemi denir.
M.K.S Birim Sisteminde çok kullanılan Teknik (pratik) Birimler:
G. Giorgi tarafından 1900 yılında M.K.S birim sitemine dördüncü birim olarak “ohm” önerildi. Daha sonra ohm yerine “amper” alındı. Bu şekilde oluşturulan bu birim sistemine G. Giorgi veya diğer adı ile M.K.S.A birim sistemi adı verildi. Bu metrik sistemde metre, kilogram, saniye yanında elektrik akım şiddeti “Amper” de alınmıştır. Bu dörtlü birim sistemidir.
SI Uluslararası Birim Sistemi, Metrik, CGS, MKS ve MKSA Birim Sistemlerinin geliştirilmesiyle oluşmuş bir sistemdir.
SI Uluslararası Birim Sistemi
C.G.S ve M.K.S birim sistemlerinin temel birimlerinin yetersizliğinin görülmesi üzerine her alana tatbik edilebilen Temel Birimler (metre, kilogram, saniye, amper, Kelvin, mol, Candela) tesbit edildi. Böylece SI olarak gösterilen “Uluslararası Birim Sistemi”ne geçildi. Bu yeni sistemin Temel Birimleri, Ölçü ve Ağırlık Genel Konferansının 10. ve 11. Toplantılarında kabul edildi ve 16/10/1971 tarihli 14. Genel Konferansından itibaren uluslararası geçerli olmuştur ve hala geçerlidir. Bu sistem, birçok ülkede kanuni bir standart olarak uygulanmaktadır.
Yukarıdaki tabloda görülen bu yedi temel birimin tesbiti ve tanımlanması şu şekilde yapılmıştır:
Uzunluk için metre (m), (13 Ekim 1960 – Paris)
1 metre, asil gazlardan olan kriptonun 86. izotopunun ışınlanmasının portugal spektral çizgisinin boşluktaki dalga uzunluğu olmak üzere, 1 m = 1 650 763,73 ‘ya eşit alındı. (Ekim 1960 – Paris)
Kütle için Kilogram (kg), (Sévre’de muhafaza edilen normal kilogram)
1 gram suyun yoğunluğunun en büyük olduğu 4°C deki sıcaklıkta 1 cm3 suyun kütlesine eşittir. 1 kg = 1000 g
Zaman için saniye (s), (13. Ölçü ve Ağırlıklar Genel Konferansı – 1967)
1 saniye, alkalik metal grubundan olan Caesium (sezyum) (55) un atom çekirdek çeşiti olan Nuklid 133Cs atomunun esas durumunun her iki hiper küçük yapılış terkibi seviyesi arasındaki geçişin ışınlanmasına tekabul eden periyodunun 9 192 631 770 katına eşittir.
Elektrik Akım Şiddeti için Amper (A), (1954)
1 absolü Amper, 1 metre mesafede birbirlerine paralel duran iki iletkenin yardımıyla, bu çift iletkenin birbirlerinin her metre uzunluğu üzerine 2.10-7 m.kg.s-2 değerle tesir eden bir kuvvet, zamanla değişmeyen bir akım şiddeti olarak ifade edilir. Akım şiddeti Amper, saniyede iletken kesidinden geçen 6,25.1018 elektronlardan oluşan bir elektron akışına, takriben, tekabül eder.
Sıcaklık için Kelvin (°K)
SI Birim Sisteminde suyun üçlü noktasının (buz, su, buhar) termodinamik sıcaklığının 273,16 da birine eşit olan termodinamik sıcaklık temel birimdir. Burada üçlü noktanın sıcaklığı kimyasal birlik içinde bulunan bir maddenin aynı zamanda üç safhada (durumda) denkede meydana gelen sıcaklık noktasıdır. Su için bu üçlü nokta 0,0100°C ve 4,58 Torr’daki sıcaklıkta bulunmaktadır.
Işık Şiddeti için Candela (cd), (1946)
1 Candela, SI birimlerinde fotometrik (ışık şiddeti) temel birimi (cd). Metrekare (m2) başına 101,325 Newtonluk bir basınç platin ergime noktasındaki sıcaklığında (1769.3°C) eşit sıcaklıkta bulunan 1/600.000 m2 lik bir kara (siyah) cismin dik doğrultuda yaydığı ışığın şiddeti Candela olarak alınır.
Madde miktarı için mol (mol)
1 mol, fiziksel-kimya alanında 1 mol karbon izotopunun (12C) 12,000,000 gram molekülü kadar bulunan miktarıdır.
SI Birim Sisteminde kullanılan tamamlayıcı birimler
Düzlemde açı için radyan (rad)
1 radyan, J. Thomson’a göre 57°17’45’’=180/ olan bir açıdır. Bir birim dairedeki merkez açısı olarak, açının kenarlarının bu birim daireden, uzunluğu 1 (bir) olan bir kavis (yay) keserler.
Katı açı için steradyan (sr)
Katı açı, tepesi küre merkezinde olan bir koninin kestiği küre yüzünde oluşur. Koninin genişliği oranında katı açı büyür. Katı açının büyüklüğü ve değeri koninin küre yüzeyinde kestiği alanın , kürenin yarıçapının karesine oranı ile ölçülür. Ölçü birimi steradyan dır. Eğer bir koninin tepesinden R uzunluğunda bulunan yüzeyin alanı R2 ise, koninin çevrelediği katı açı 1 (bir) steradyan olur.
MATEMATİĞİN TARİHİ
TARİH ÖNCESİ ÇAĞLARDA ARİTMETİK
Sayı ve biçime ilişkin kavramlarla tanışmamız Yontma Taş Devri’ne kadar uzanır. Yüzbinlerce yıl boyunca insanlar, hayvanların yaşadığı koşullardan pek farklı olmayan bir biçimde mağaralarda yaşadılar. Enerjilerinin çoğunu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harcıyorlardı. Avlanmak ve balık tutmak için silahları, birbirleriyle anlaşmak için konuşma dilini geliştirdiler. Yontma Taş Devri’nin sonlarına doğru da yaratıcı sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak yaşamlarını renklendirdiler. Fransa ve İspanya’daki yaklaşık 15.000 yıl öncesinin mağara duvar resimlerinin ayinsel bir anlamı olabilir, ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlayışı gösteriyorlardı.
Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine gelişmişti ki, yüzlerce mil uzaklıktaki köyler arasındaki ilişkilerin izleri fark edilebiliyordu. Önce bakırın daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yapıldı. Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da gelişmesine yol açtı. Bu dillerdeki nesnelerin çoğunlukla somut; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az sayıda olmasına karşın bazı sayısal terimler ortaya çıktı. Benim düşüncelerime göre matematiğin ilk kez ortaya çıktığı çağ Maden Çağıdır.
Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith’in “insan aklının ürünü en soyut düşünceler” olarak tanımladığı sayısal terimlerin kullanılmaya başlanması çok yavaş oldu.Bunlar ilk ortaya çıktıklarında bir cismin sayısını değil niteliğini gösteriyordu. Örneğin ; “bir insan” değil sadece “insan” kavramını gösteriyordu. Sayısal kavramların bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi bazı dillerdeki ikili terimlerde görülebilir.Sayı kavramı geliştikçe toplama yoluyla daha büyük sayılar oluşturuldu: 2 ile 1 toplanarak 3, 2 ile 2 toplanarak 4, 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu.
İşte bazı Avustralya kabilelerinden örnek :
Murray Nehri : 1 =enea, 2 =petcheval, 3 =petcheval-enea, 4 =petcheval – petcheval
Kamilaraoi : 1 =ma, 2 =bulan, 3 =guliba, 4 =bulan bulan, 5 =bulan guliba, 6 =guliba guliba
Zanaatlerin ve ticaretin gelişmesi sayı kavramının netleşmesine yardım etti. Sayılar, ticaret yaparken doğal bir yöntem olan bir ya da iki elin parmakları kullanılarak daha büyük birimlerin içinde gösterildi. Buna örnek olarak şimdiki okullarda okuyan küçük sınıflarda ki çocukların sayma yöntemini verebilirim. Bu olayın sonucunda önce 5 sonra 10 tabanlı sayı sistemleri oluşturulup, bunlar toplama ve bazen çıkarma ile tamamlandı. Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9,10-1 olarak algılandı. Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklarının toplam sayısı olan 20 kullanıldı. Yapılan araştırmalara göre Amerikan yerlilerinin kullandığı 307 sayı siteminden 146’sı onluk, 106’sı onluk, onikilik ve yirmilik sayı sistemlerinin karışımıydı. Çoğu kişi tarafından yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok sayı sisteminin olması önce bana biraz garip geldi. Fakat sonra, onların da en az bizim kadar zeki olduklarını anladım.Yirmili sayı sisteminin en tipik biçmi Meksika’da Mayalar ve Avrupa’da Keltler tarafından kullanıldı.
Sayılar kümelere ayrılarak, tahtanın üstüne çentik, ipin üstüne düğüm atılarak ya da deniz kabuklarının beşli yığınlar biçiminde düzenlenmesiyle sayısal kayıtlar tutuldu. Bu yöntemler eski zaman hancılarının çetele tutma yöntemlerine benziyordu. Böyle yöntemlerden 5, 10, 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu.Benzer simgeler uygarlığın doğuşu da denen yazılı tarihin başlangıcından beri kullanılmıştır.
Yontama Taş Devri’ne kadar uzanan en eski çetele çubuğu 1937’de Vestonica’da bulunmuştur.Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunluğundaki ön kol kemiğiydi ve üzerinde ilk 25’i beşli gruplar halinde düzenlenmiş 55 çentik bulunmaktaydı.Dizinin sonunda, önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vardı. Yeni dizinin başındaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten oluşan bir dizi izliyordu.
Böylece, sık sık söylenen “eski zamanlarda sayma parmaklara dayalıydı.” görüşü geçerliliğini kaybetmiş oldu. Yazı olmamasına rağmen Yontma Taş Devrin’deki insanların çetele çubuklarını duymak ilginç gelebilir. Fakat gerçek.
Parmaklar kullanılarak sayı saymak yani 5’erli 10’arlı saymak ancak toplumsal gelişimin belirli bir aşamasında ortaya çıkar. Bu aşamadan sonra sayılar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayıların ortaya çıkmasına yardım etti. Böylece ilkel bir aritmetik ortaya çıktı. 14 bazen 10+4, bazen de 15-1 olarak gösteriliyordu. 20’nin 10+10 değil de 210 olarak gösterilmesiyle çarpma başladı.Bölme, 10’un “vücudun yarısı” olarak gösterilmesiyle başladı, ama kesirlerin bilinçli bir şekilde oluşturulması hala çok enderdi. Kuzey Amerika’da kabilelerin ancak birkaçında böyle kesirler biliniyordu, çoğu durumda bu ½’ydi. Bazen 1/3 ya da ¼’de kullanılıyordu. Bir başka ilginç durum çok büyük sayılara duyulan ilgidir. Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklüğü ya da öldürülen düşmanların çokluğunu abartma isteğinin sonucudur. Bu eğilimin kalıntıları İncil’de ve diğer kutsal metinlerde de ortaya çıkar.
Tarih Öncesi Çağlarda Geometri
Cisimlerin uzunluklarını ve içindekileri ölçmek gerekince, genelde insan vücudunun bölümleri kullanılarak; parmak, ayak, karış gibi basit ölçüler kullanıldı. Arşın, kulaç adları bize bu geleneği hatırlatır. Ev yaparken Hint köylüleri de, Orta Avrupa’da kutup evi yapanlar da yapıları düz çizgiler boyunca ve yere göre dik açıyla yapmak için kurallar geliştirdiler. Örneğin; “Düz sözcüğü “germek” sözcüğü ile ilgilidir ve iple yapılan işlemleri gösterir. ”Doğru” ve “Keten kumaş” sözcükleri, dokumacılık ile geometrinin başlangıcı arasındaki bağlantıyı gösterir.Dokumacılık ölçmeye ilişkin ilginin başlama yollarından biriydi.
Cilalı Taş Devri insanı geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu. Çömleklerin pişirilmesi ve boyanması, sazların örülmesi, sepet yapımı ve kumaş dokumacılığı, daha sonra da metallerin işlenmesi, düzlemsel ve alansal ilişkilerin kavranmasını geliştirdi. Dans figürleri de bunda rol oynamış olmalı ki Cilalıtaş Devri’nde yapılan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür; eş şekiller kullanılırdı. Bazı tarih öncesi desenler de üçgensel sayılar, bazılarında ise “kutsal” sayılar yer alıyordu. Pisagor matematiğinde önemli rol oynayan üçgensel sayıların oluşturulma çabaları yansımaktadır.
Bu tür desenler tarih boyunca yaygın olarak kullanılmıştır.Bunların çok güzel örneklerine Girit’teki Minos ve erken dönem Yunan vazolarında, daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde, Pers ve Çin duvar halılarında rastlanır.Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlamı olabilir, ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana çıkmıştır.
Taş Devri dinlerinde, doğa güçlerine egemen olma çabasının ilkel bir biçimini fark edebiliriz. Dinsel törenler büyü ile iç içeydi.Büyü öğesi de o zamanlar var olan sayı ve biçime ilişkin kavramlarda, heykel, müzik ve resimlerde içeriliyordu. 3,4,7 gibi sihirli sayılar, Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vardı.Matematiğin toplumsal kökenleri modern zamanlarda silikleşmişse de insanlık tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler açıkça görülebilmektedir ve bazı yazarlar, matematiğin bu yönünün onun gelişiminde belirleyici olduğu görüşündedir.”Modern” sayı bilimi, Cilalı hatta belki de Yontma Taş Devri’nin büyü törenlerinin mirasıdır.
Zaman Kavramı
En ilkel kabilelerde bile bir “zaman” kavramına rastlanır ve bunun sonucu olarak da Güneş Ay ve yıldızların hareketleriyle ilgili bazı bilgileri edinmişlerdi. Bu bilgiler, çiftçilik ve ticaret geliştikçe daha bilimsel bir nitelik kazanmaya başladı. Bitkilerdeki değişimlerin Ay’daki değişimlerle ilişkilendirildiği Ay takviminin kullanılması, insanlık tarihinin çok erken dönemlerine kadar uzanır.İlkel insanlar gündönümünü ya da şafakta yedi yıldızlı Süreyya burcunun yükselişini ilgiyle izliyordu.İlk uygarlıkları kuran insanların astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen bilgilere dayanıyordu.İlk insanlar, takım yıldızlarından denizcilikte yararlandılar.Astronomiye ilişkin bu gözlemlerinin sonunda kürenin, dairenin ve açısal yönlerin özellikleri hakkında bilgi edinildi.
Matematiğin başlangıcına ilişkin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel gelişiminin, şimdi bu alandaki öğretimde geliştirdiğimiz aşamalarla çakışmayabileceğini göstermektedir.İnsanlarca bilinen en eski geometrik biçimler olan düğümlere ve desenlere ancak son yıllarda bilimsel bir ilgi gösterilmiştir.Öte yandan, grafikle gösterim ya da istatistik gibi matematiğin temel dallarının başlangıcı modern zamanlardadır.Bir matematikçi olan A. Speiser bu konuda şöyle düşünmektedir :
“Matematiğe girişin doğasında var olan sıkıcılığın ön plana çıkma eğiliminin geç başlangıcının sonucu olduğu söylenebilir ; çünkü yaratıcı bir matematikçi ilgi çekici ve güzel problemlerle uğraşmayı yeğler.”
ESKİ UYGARLIKLARIN MATEMATİKLERİ
Doğu Matematiği
Doğu matematiği uygulamalı bilim kökenliydi.Takvimin hesaplanması, tarımsal üretim ve bayındırlıkla ilgili işlerin örgütlenmesi, vergilerin toplanması uygulamalı aritmetik ve ölçme sorunlarına öncelikle ağırlık verilmesini gerektirdi.Bununla birlikte, yüzyıllar boyunca özel bir zanaat olarak gelişen bilim yalnızca uygulamaya yönelik değildi ; sırlar öğretilirken, soyutlamaya yönelik eğilimler de ortaya çıktı.Aritmetiğin cebire dönüşmesi yalnızca daha pratik hesaplamalar sağladığı için olmadı ; bu, aynı zamanda yazıcı okullarında öğretilen bir bilimin doğal bir gelişimiydi.Aynı nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin başlangıcını oluşturdu.
Mısır Matematiği
Mısır matematiğine ilişkin bilgilerimizin çoğu iki kaynağa dayanır.Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 yıl öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsü’dür.Bu elyazmaları düzenlenirken, içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu ; ama yakın dönemden, hatta Roma döneminden kalma az sayıdaki papirüsteki yöntemler de bundan farklı değildi.Kullandıkları matematik onlu sayı sistemine dayanıyordu ve 10’dan büyük her 10’lu birim için özel simgeler kullanılıyordu.Bu tür sistemleri Roma rakamlarından biliyoruz : MDCCCLXXVII = 1878.Bu sistemi kullanan Mısırlılar, çarpmayı ardışık toplamalara indirgeyen, toplama ağırlıklı bir aritmetik geliştirdi.Örneğin, bir sayıyı 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8’le çarpıyorlardı daha sonra çıkan sonucu sayının kendisine ekliyorlardı.Bu işlemi yaparak inceleyelim :
Normal çarpma işlemi :313=39
Mısırlıların kullandığı yöntem :
34 =12
38 =24
24+12 =36
36+3 =39
Görüldüğü gibi sonuç aynı.Mısır matematiğinin en önemli yönü kesirlerle yapılan hesaplamalardır.Bütün kesirler, payı bir olan birim kesirlerin toplamı olarak yazılırdı.
Bazı problemlerin teorik yanları ağır basıyordu.Örneğin 100 somun ekmeği 5 kişi arasında, her birine düşen pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 payın toplamının yedide biri en küçük iki payın toplamına eşit olacak biçimde bölüştürülmesi problemi böyleydi.7 evin her birinin 7 kedisi, her kedinin kovaladığı 7 farenin olduğu problem, geometrik olarak artan bir serinin toplamının formülünü bildiklerini gösteriyordu.
Böyle problemler için yazılmış şiirler, şarkılar bile vardır.Şu şiiri anımsayalım :
“St. Ives’e giderken
7 karısı olan bir adamla karşılaştım
Her karısının yedi sepeti
Her sepetin yedi kedisi
Her kedinin yedi yavrusu vardı
Her yavrununda yedi çıngırağı vardı
Yavrular, kediler, sepetler, kadınlar ve çıngıraklar
Kaç tanesi St. Ives’e gidiyordu ?
Mezopotamya Matematiği
Mezopotamya matematiği, Mısır matematiğinin hiçbir dönemde ulaşamadığı bir düzeye erişti.Burada yüzyıllar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz.M.Ö 2100’deki en eski metinlerde bile gelişmiş hesap izleri bulunur.Bu metinlerde 10’lu sistemin üzerine 60’lı sistemin eklendiği çarpım tabloları bulunmaktaydı.1, 60, 3600 ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2’yi gösteren çiviyazısı simgeler kullanılmıştı.Ama bu onların matematiğinin tipik özelliği değildi.Mısırlılar daha büyük her sayıyı yeni bir simge ile gösterirken , Sümerliler aynı simgeyi kullanıp değerini bulunduğu yere göre belirliyorlardı.
Ayrıca 60’lı sayı sistemi insanlığın kalıcı bir kazanımı oldu.Günümüzde kullandığımız saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de, dairenin 360 dereceye, her derecenin 60 dakikaya, her dakikanın da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerliler’e kadar uzanır.Birim olarak 10 yerine 60’ın alınmasının sebebi ölçme sistemlerini birleştirmek olabileceği gibi 60’ın birçok böleninin olması da nedenlerden biri olabilir.
MISIR HİYEROGLİFLERİ
Eğer yazılarınızı eski Mısır hiyeroglifleriyle yazarsanız çoğu kişi bunları okumaya çalışmaktan vazgeçecektir.
Eski Mısır Hiyeroglifleri’nden Mısır rakamlarını öğrenmek çok kolaydır ; çünkü hepsinin bir görsel anlamı vardır.Büyük bir olasılıkla yazı yazmaya başlamadan once Mısırlılar, sayı saymak için parmaklarını kullanıyorlardı.Başka birinin okuması için sayı düzenlemeleri gerektiğinde de, yine büyük bir olasılıkla, yan yana sıralanmış yapraklar, ip parçaları ve çiçekler bırakıyorlardı.Neden mi böyle düşünüyoruz ? Çünkü daha sonradan hiyeroglif yazı sistemini geliştirdiklerinde, yaprak ip parçaları, çiçek ve hatta yılan ve iribaşlar kullanmışlar.
SİHİRLİ MATEMATİK
Sayılar şaşmaz.Bu matematiğin temelidir.Hüner, bu sayıları yerinde kullanabilmekte ve aralarındaki bağıntıların özelliğini tanıyabilmektedir.
Biz de istersek, küçük bir çaba ile matematiğin sihirli yönünü tanıyabiliriz.Tam sayılar arasındaki dört işlemi yapabilen her öğrenci bu matematik oyunlarını öğrenebilir ve uygulayabilir.
Oyun 1 :Karşınızdakinin hangi ay ve günde doğduğunu kolayca söyleyebilirsiniz ; yeter ki karşınızdaki şu isteğinizi sırasıyla yerine getirsin.
Doğduğu ay kaçıncı ay ise onu 5 ile çarpsın.7 eklesin.4 ile çarpsın.Sonra 13 eklesin.5 ile çarpsın.Çıkan sayıya doğum gününü eklesin.Çıkan sayıyı sorun ve bu sayıdan 205 sayısını çıkarmasını isteyin.Sonuçta ilk rakam doğduğu ay, diğer iki rakam ise doğum günüdür.
Oyun2 :Arkadaşınızın yaşı ile birlikte ev numarasını da bulabilirsiniz.Bunun için eviniin numarasını iki ile çarpsın.Haftanını günlerini eklesin.Çıkanı 50 ile çarpsın.Yaşını eklesin 365 çıkarsın.15 eklesin.Elde edilen sayının son iki rakamı yaş ondan öncekiler ev numarasıdır.
Oyun3 :Çoğunuz doğum gününüzün yılın kaçıncı ayı ve günü olduğunu bilirsiniz de Bunun haftanın hangi gününe rastladığını kesin olarak bilemezsiniz.Ya da tarih kitaplarında şöyle bir tarih görürsünüz.4 Temmuz 1862.Acaba bu tarih haftanın hangi gününe rastlıyor diye merak edersiniz.Şimdi yapacağımız işlem bu günü bulamamızı sağlayacaktır.
Doğum yılınızın son iki rakamını yazın.Örneğin, siz 1990’da mayısın 25’inde doğmuş olsanız, ilk yazacağınnız sayı 90’dır.Bunu dörde bölün.Artan varsa atıp tam bölümü alın.Örnekte bu 22’dir.Aşağıda anahtarını verdiğimiz doğuma ayına ait rakamı alın.Bu örnekte anahtar 2’dir.Ayıncı kaçıncı gününde doğmuşsanız o sayıyı da alın.Bu örnekte 25’dir.Şimdi 1,2,3,4 numaralı anlatımlardaki sayıları toplayın.Yani (90+22+2+25=139)
Bu rakamı 7’ye bölün.Bölümü atın, kalanı alın.Kalan sayıyla 2.sonuç levhasında doğum gününüzü bulabilirsiniz.
Anahtar Sayılar :Ocak 1, Şubat 4, Mart 4, Nisan 0, Mayıs 2, Haziran 5, Temmuz 0, Ağustos 3, Eylül 6, Ekim 1, Kasım 4, Aralık 6.
Sonuç Levhası : 2 Pazartesi, 3 Salı, 4 Çarşamba, 5 Perşembe, 6 Cuma, 0 Cumartesi, 1 Pazar.
Burada dikkat edilecek bir nokta var.Doğum yılınız artık yıl yani 366 günlük yıl ise, anahtar levhasında şu değişikliği yapınız : Ocak 0, Haziran 3.
MATEMATİK BİLEN ALDANMAZ
Paulos birincisi kurmaca, ikincisi gerçek olan iki öykü anlatıyor.
Birinci öyküde iki saray seçkini yan yana ata binmiş dolaşıyorlar.Biri diğerine, “Bulabildiğin en büyük sayıyı söyle bakalım diyor.” İkincisi biraz düşündükten sonar sevinçle “ÜÇ” diye haykırıyor.Soru soran bir süre düşündükten sonar, pes ediyor ve oyunu kaybediyor.
İkinci öyküyse, matematikçi G. H. Hardy’yle başka bir ünlü matematikçi hastanede Romanujan’ı ziyarete gitmiş.Laf olsun diye söze şöyle başlamış : “Gelirken bindiğim taksinin numarası çok sıradandı :1729 “Romanujan hemen atılmış :”Sıradan olur mu hiç ?… Son derece ilginç bir sayı bu ! İki farklı biçimde iki sayının küpünün toplamı olarak yazılabilecek en küçük sayı bu !”(Meraklıları için verelim.12 ve 1, 10 ve 9’un küpleri sonucu sağlıyor.)
Ramanujan, büyük sayılarla bile karmaşık işlemler yapmada ustalaşmış biriydi.Birinci öyküde ki kahraman ise hemen pes ettiğine gore belli ki 3’ten daha büyük bir sayı hayal edemiyor.Bu ilk bakışta inanılmaz gibi görünebilir.Yine de hemen aldanmayın.Avustralya’daki Aranda kabilesinin üyeleri gibi daha pekçok yerlerdeki yerliler 3’e kadar bile tam anlamıyla sayamıyorlar.Bu insanların dillerinde sadece 1 ve 2’yi anlatan sözcükler var.3 için biriki, 4 için ikiiki.4’ten sonraki tüm sayılar ise “çok”.Aslında çok büyük sayıları anlatmanın çok çeşitli yolları var.Sözgelimi birin peşine kaç tane 0 koyduğumuzu söyleyebiliriz.
CANLI HESAP MAKİNELERİ
Bazılarının inanılmaz ölçüde güçlü bir belleği vardır.Hepsi de birkaç önemli numara ve aritmetikte kolaylık sağlayacak kısayollar biliyorlardı.Bazen de sahnede zaman kazanabilmek için ya soruyu duymamazlıktan geliyor ya da sorulan soruyu bir de kendileri tekrarlıyorlardı.Bu kişiler gerçekte biraz farklı insanlardır.Örneğin, bundan iki yüzyıl once yaşamış İngiliz J.Buxton yoksul bir çifçiydi.Hiçbir zaman okuma ve yazma öğrenmedi, hatta kağıda bir rakam yazmayı bile bilmiyordu.Gelgelelim, insanların ona sayılarla ilgili ne kadar olağandışı ve beklemedik olursa olsun, sordukları soruların hepsine yanıt verebiliyordu.Örneğin, bir tarla dolusu saç telinin ne kadar olabileceği sorusunu hemencecik yanıtlayabiliyordu. (Tabii ki bunu gerçekten saymaya kimsenin niyeti yoktu.)
Bir gün arkadaşları çiftçiyi Londra’ya bir tiyatroya götürdüler.Oyunun sonunda Buxton arkadaşlarına baş erkek oyuncunun 144445 sözcük söylediğini ve 5202 adım attığını söyledi.Tabii oyunda ne olduğuyla hiç ilgilenmemiş yalnızca saymıştı.Yıllar once sayılarla arası iyi olan bu insanlar bir “bilgisayar” olarak çalışıyorlardı.Bu insanların yerini şimdi makinelerin aldığını duymak bizi şaşırtmıyor.
Biz Neler Yapababiliriz ?
Aslında çok iyi bir belleğe sahip olmadıkça, bu tür işlemleri yazmadan yapmak olanaksızdır.Ama yine de matematiksel işlemlerde birkaç kısayol bilirsek, işlemleri kolayca akıldan yapabiliriz.Bu durum kısa sure sonar bir oyuna da dönüşecektir.Gerçekten de, fazla sayıda kısayol bulabilirseniz belki de siz de arkadaşlarınıza geçmişte yapıldığı gibi bir gösteri sunabilirsiniz.
Bu kısa yollardan en ünlüsü 11 ile yapıla çarpma işlemidir. Örnek olarak :
11.11=121 11.12=132 11.13=143
11.14=154 11.15=165
11 ile çarptığınız diğer sayılara (11, 12, 13, 14 ve 15) ve çarpımın sonuçlarındaki sayıların ortalarındaki sayılara bakalım.Örneğin 11.12 işleminde sonuç 132, 12’nin 1 ve 2 sayılarının toplamı yani 3, 132 sayısında ortaya geliyor ve 1 ve 2’de sırayla 3’ün yanlarına yerleşiyor. Çok kolay …
ASAL SAYILAR
Bir asal sayı, birden büyük olan ve yalnızca 1’e ve kendisine tam olarak bölünebilen sayıdır. Asal sayıları bulmak için bir sürü bölme işlemi yapmak gerekebilir. Ama biz bunu çizerek de yapabiliriz.
1.Bir sayı seçelim.Bu sayıyı yanyana küçük kareler biçiminde gösterelim.Örneğin 3 sayısını seçtiysek bunu yanyana 3 kare olarak göstereceğiz.
2.Şimdi bu küçük kareleri düzenlemenin farklı yollarını arayalım. Herhengi bir sayının asal sayı olup olmadığını yaptığımız karelere bakarak anlamanın tek bir yolu var :Eğer küçük karelerle dikdörtgen oluşturmanın kareleri yanyana dizmekten başka bir yolu varsa bu sayı asal sayı değildir.
Asal sayılar sonsuz sayıdadır. Tıpkı 2’ye bölünebilen ya da 3’e bölünebilen sayıların sonsuz sayıda olması gibi.Sayılar büyüdükçe yalnızca bir bilgisayar bunları aramak için gerekli zamana ve sabra sahip olabilir.Bir insanın bütün o hesaplamaları yapmak uzun yıllar sürer.Yakın bir zamanda ABD’de bir bilgisayar yardımıyla şimdiye kadar bulunmuş asal sayıların en büyüğü keşfedildi. Bu sayı 2’nin 859 433 kez çarpılmasıyla ortaya çıkan sayıdan 1 çıkarılmasıyla elde ediliyor. 258 716 basamaklı bu sayı öylesine uzun ki ancak sekiz gazete sayfasına sığdırılabiliyor.
EUCLID
İlk çağın en önemli matematikçilerinden Euclid Mtematikle ilgili “Elemanlar” bilimsel incelemesiyle tanınır. Kalıcı olan “Elemanlar” çalışması Euclid’i Matematiğin gelmiş geçmiş en önemli öğreticisi yapmıştır. Hayatı hakkında Mısır’da öğrencilik yaptığı dönemler hariç çok az bilgi vardır. M.Ö 325 265 yılları arasında yaşadığı sanılıyor.
Euclid “Elemanlar” adlı çalışmasında Eudoxus’un pek çok teoremini bir araya getirip onlara bir bilimsel çalışma düzeni vermiştir. Ayrıca Theaetetus’un da pek çok teoremini eksiksiz bir şekilde kendinlen önce başıboş ve düzensiz bir şekilde yapılan çalışmaları düzenleyip onları bilimsel formda sunmuştur. Birinci Ptolemy döneminde yaşamıştır ; Archimedes’e göre Euclid bir Platonistti ve Platon’a ve felsefesine sempatiyle bakıyordu, bu yüzden de “Elemanlar” adlı eserindeki şekillere Platonik şekiller adını verdi.
Euclid hakkında çeşitli kaynaklar tarafından verilen fakat güvenilir olmayan bilgiler de vardır.
İki değişik ekstra bilgi vardır. Bunların ilki Arab kaynaklarıdır, buna göre Euclid Naucrates’in oğluydu ve Tyre kentinde doğmuştu. Fakat matematik tarihçileri bunların tümüyle uydurma ve gerçek dışı olduğuna inanmaktadırlar.
Bu bilgilerin ikincisine göre ise Euclid Megara kentinde doğmuştur. Bu da ilk kaynakta verilen hatalı bilgiden kaynaklanmaktadır. Aslında Megaralı Euclid adında birisi vardır fakat o bir filozoftur ve matematikçi Euclid’ten 100 yıl önce yaşamıştır. Euclid o dönemlerde yaygın olarak kullanılan bir isimdir o yüzden de bu tür karışıklıklar olmaktadır.
Archimedes’in Proclus adlı çalışmasında tam ve kesin olarak emin olmasak da Euclid’in adı geçmektedir. Küreler ve silindirlerle ilgili bölümde Euclid’in adı geçmektedir ve referans olarak verilmektedir. Sonuç olarak Archimedes Euclides’e eserlerinde atıfta bulunmuş ve hatta zaman zaman tartışmaya girmiştir.
Tam kesin ve güvenilir olmasa da Euclid’in çalışmalarını Archimedes’ten önce Plato ve Eudoxus’ tan sonra taptığı konusunda genel bir düşünce vardır.
Euclid ve hayatı hakkında üç önemli ve mümkün teori vardır. Bu teoriler zekice toplanmış, mümkün ve mantıklıdır.
Euclid tarihi bir karakter değildir. Yazdığı “Elemanlar” kitabı ve diğer çalışmaları onu bir sembol yapmıştır.
Euclid Alexandria’da çalışan matematikçiler takımının lideridir. Bunların hepsi Euclid’in eserlerine bir katkıda bulunmuşlardır. Hatta Euclid öldükten sonra onun adı altında kitap yazmaya devam etmişlerdir.
Euclid bi tarihi karakter değildir. Euclid’in tamamlanmış çalışmaları Alexandria’daki matematikçiler takımı tarafından yazılmıştır. Euclid ismini ondan 100 yıl önce yaşamış tarihi bir karakter olan Megaralı Euclid’ten almıştır.
(i). teori hakkımda kuvvetli deliller vardır. Bu teori herkes tarafından hiç soru sorulmadan 2000 yıldır kabul edilmektedir ve bunun çelişkili olduğu hakkında bir kanıt da yoktur zaten.
(i) i kabul etsek bile Euclid’in Alexandria’da güçlü bir matematik okulu kurduğundan az da olsa şüphe duyarız. Evet onun bazı yetenekli öğrencileri vardır ve bunlar eserlerinde Euclid’e yardım etmiş olabilirler. (ii). toriye rağmen farklı kitapları farklı matematikçiler yazmıştır.
Biçim den farklı kayda değer başka ve doğrudan kanıtları da vardır bunun.
(iii). teori bu teoriler arasında gerçek dışı gibi gözükse de o kadar da gerçekten uzuak değildir. Hatta 20. yüzyılda buna Bourbaki örneği vardır. Pekçok yazar Borbaki adı altında “Eléments de mathématique” adlı 30 ciltlik kitabı yazmıştır.
(iii). teorinin eksikliğini gösteren en önemli yargı Bourbaki ve arkadaşlarıdır. Kitap Bourbaki adı altında yayınlanmıştır fakat kitaba emeği geçen diğer matematikçilerin hepsi günümüzde meşhurdur. Fakat Euclid’in kitabını yazanlar eğer varlarsa günümüzde onları bilmemiz gerekirdi. Nererde bu kişiler?
(i). teorinin doğruluğunu varsayabiliriz (i) doğrudur fakat Euclid hakkında hiçbir bilgi içermemektedir. Onun çalışmalarını dönemim tarihi olaylarını yorumladıktan sonra değerlendirmeliyiz. Euclid Atina’da Platon’un akademisinde Eudoxus ve Theaetetus geometrisi öğrenmiştir.
Euclid’in hiçbir çalışmasının bir önsözü yoktur, hiçbiri günümüzde bize kalmamıştır. Yani onun karakteri hakkında fazla birşey göremiyoruz diğer yunun matematikçilerin önsözünde gördüğümüz gibi. Onun hakkında Pappus şöyle der :
“Euclid en dürüst ve ilişkide bulunduğu kişilere karşa son derece iyi niyetli, dikkatli ve yumuşak davranan bilge ve alçak gönüllü birisiydi.”
“Elemanlar” tanımlarla başlar ve beş postüladan oluşur. İlk üç postüla başlangıç postülasıdır, öreneğin ilk postüla iki nokta arasında düz bir doğru çizilebileceğini ifade eder. Bu postülalar noktaların, doğruların, çamberlerin ve diğer geometrik şekillerin var olduğunu farzetmiştir. Kitapta üzeri kapalı daha başka varsayımlar da mevcuttur. Örneğin iki noktayı birleştiren tek bir doğru olduğu farzedilmiştir. Benzer olarak sırasıyla ikinci ve üçüncü postülalar, doğru çizgi ve çember çizimi üzerinedir.
Dört ve beşinci postülalar farklı bir yapıya sahiptir. Burada bütün doğru açıların eşitliği söylenmiştir. Bu apaçıktır fakat bu homojen uzayı farzeder ve şekillerin uzaydaki
duruş pozisyonlarından bağımsız olduğunu belirtir. Meşher olan beşinci postülada ise bir doğruya bir noktadan sadece bir paralel doğru çizilebileceğini belirtti. Euclid!in bu postülası Euclid Geometrisi terimini çıkarttı ta ki 19. yüzyıla kadar. 19 yüzyılda bu postüla terkedildi.
Euclid’in ortak ülkeler adı verilen aksiyomları da vardır. Aslında spesifik geometri özellikleri yoktur bunun yerine çeştli varsayımlar matemetiğin tümdengelen bir bilim olmasını sağlamıştır. Öreneğin aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine eşittir.
Sidonlu Zeno Euclid’ten 250 yıl önece yaşamış ve Euclid’e ilk defa önermelerin yalnız aksiyomlar olmadan sonuca gitmede yeterli olmayacağını göstermiştir. bunun üzerine Euclid zekice ve kurnazca çeşitli varsayımlarda bulunmuştur.
“Elemanlar” kitabı 13 kitaba ayrılmıştır. Birden altıya kadar olan kitaplar düzlemsel geometri konusunu kapsar. İlk iki kitabın belirli bölümlerinde temel üçgen özellikleri, paralel ve paralel kenarlar, dikdörtgenler ve karelerden bahsedilmiştir. Üçüncü kitapta ise çemberin özelliklerine değinilmiştir, dördüncü kitapta ise bunlarla ilgili problemlere yer verilmiştir. Beşinci kitapta ise Eudoxus’un oran ve orantı hakkındaki çalışmalarını planlamış ve bunları eşit ve eşit olmayan büyüklüklerde uygulamıştır. Heath şöyle der:
“Yunan matematiği bu geometride ses getiren ve orantıyı kullanan bu buluştan gurur duyabilir.” Altıncı kitap ise beşinci kitaptaki düzlemsel geometriyle ilgili çıkarılan sonuçları anlatır.
Yedinci kitap ise sayı teorisiyle ilgilidir. Kitabın belli bazı bölümlerinde sayı teorisine giriş ve Euclid alogaritmasını ve iki sayının en büyük ortak bölenini bulmasını anlatır. Sekizinci kitap ise geometrik düzende sayılardan bahseder.
Onuncu kitapta ise irrasyonel sayılar teorisi vardır. Ayrıca genellikle Theaetetus’un ispalarından yararlanmış ve onları değiştirerek Eudoxus’un orantı tanımına uydurmuştur.
Onbir ve onüçüncü kitaplar ise üç boyutlu geometriyle ilgilidir. Onbirinci kitapta gerekli üç kitapta kullanılan gerekli temel tanımlar verilmiştir. Onikinci kitapta ise genel sonuçlar verilmiştir. Bu sonuçlar şöyledir çemberler, kareler, küreler kendi aralarında benzerdir ve bire birdir. Bu sonuçlar tabi ki Eudoxus’un sayesinde bulunmuştur. Euclid burada bazı teoremlerin ispatını da Eudoxus’un “exhaustion metoduna” göre yapmıştır. “Eemanlar” eseri beş çeşit polihedranın genel özelliklerinin tanıtıldığı onüçüncü kitapla son bulur. Bu kitap Theaetetus’un geniş bilimsel çalışmaları sonucu ortaya çıkarılmıştır. Euclid’in “Elemanlar” eseri açıklık ve teoremlerin başlangıcı ve ispatı açısından olağanüstüdür.
Bu muhteşem kitap bütün küçük kusurlarına rağmen halen en büyük matematik kitabı olarak günümüze kadar kalmıştır. Eski yunan döneminde bile yetenekli matematikçiler bununla beraber oturmuşlardır. Örnek olarak Heron, Pappus, Porphyry, Proclus and Simplicius. Alexandria’lı Theon yeniden düzenlemiştir bu eseri. Dilini yenilemiş burada ve orada kitabı daha anlaşılır ve açık hale getirmiştir. Euclid’in “Elemanları”nın Euclid zamanından beri hayatta kalması gerçekten muhteşem bir hikayedir. Bizim Euclid’in eserlerine ulaşmamız altı parça halinde ve resim ve şekilleri olan yazıların 1906/07 ve 1907/1908 yılları arasında Elephantine adasında bulunmasıyla olmuştur. Bu yazılar eskidir, Plato’nun ölümünden 100 yıl önce kadar. Elemanların ikinci parçası ise M.Ö 75-125 yılları arsında yeniden bazılarının Elemanların maddelerini anlamaya çalışmasından yeniden ortaya çıkmıştır.
Binden fazla baskı yapan “Elemanlar” ilk baskısı olan 1482 yılından beri devam etmektedir. Bu eserlerin baskılarının bazı yazınsal değişikliklere uğradığı tartışılır. Neredetse yazıldığı devirden beri şimdiki zamana kadar kalan “Elemanlar” insanlar tarfından kullanılagelmiştir. Geometrik sebeplerin, teoremlerin, ve metodların 19 yüzyıla kadar kullanılan birincil kaynağı olmuştur. Bazen “Elemanların” batı dünyasında en çok çevrisi yapılan ve basılan kitap olduğu söylenir. Euclid’in bunun dışında günümüze kalan kitapları da vardır. Bunların da çevrileri yapılmaktadır. Bunları şöyle sıralayabiliriz: Data adlı kitabında şekillerin özelliklerine bakılmış ve tümdengelim yöntemiyle diğer özellikleri bulunmuştur. Bölme kısmında ise bir şekli ikiye istenilen oranda ikiye bölme anlatılmıştır. Optik ise eski Yunanda ilk defa perspektif alanında yapılan çalışmadır. Phaenomena ise matematiksel astronomiye giriş alanında yazılmış bir kitaptır. Bu kitapta yıldızların çeşitli zamanlardaki pozisyonlarından bahsedilmektedir. Ayrıca yıldızların doğuş ve batış zamanları da belirtilmiştir. Euclid’in şu kitapları ise tamamen kayıptır.: Yüzey locisi(2 kitap), Porisms (3 kitap, 171 teorem ve 38 lemma), konikler (4 kitap), müziğin elemanları.
Herşeyin bilimsel gibi gözükmesi ve gerçekle onu izleyen bilimsel prensipler gerçeklikten sapıp körü körüne benimsendikleri zaman ise bilimsellikten uzaklaşıyorlar. Euclid metodları kolay anlaşılır hale getirmiştir tabi maddeleri anlamayı da.
Euclid birinci sınıf bir matematikçi olmayabilir fakat uzun yaşayan “Elemanlar” eseri onu antik çağın belki de bütün çağların en iyi matematik öğreticisi yapmıştır.
Euclid’in kitaplarının günümüz versiyonu:
Archibald, Raymond Clare (1875-1957).
Euclid’in şekillerin bölünmesiyle ilgili kitabı. Cambridge University Yayınları, Cambridge, 1915.
Berggen J.L. Euclid’in Fenomenası: Euclid’in Helenistik çağda yaptığı astronomik çalışmaların tercümesi Garland, 1996
Bretschneider, Karl Anton. Die Geometrie und die Geometer vor Eukleides; ein historischer Versuch. Teubner, Leipzig, 1870.
Busard, H.L.L. Euclid’in “Elementları”nın ilk Latince tercümesi. Pontifical Enstütüsü.
Chasles, M. (Michel) (1793-1880)
Les trois livres de porismes d’Euclide, rétablis … d’aprés la notice … de Pappus. Mallet-Bachelier, Paris, 1860.
Frankland, William Barrett. Euclid’in Elementlarının didaktik biçimde yorumlandığı ilk kitap. Cambridge Univ Yayınları, New York, 1905.
Heath, Sir Thomas Little (1861-1940)
Euclid’in 13 kitabının giriş bölümleri ve yorumlarıyla birlikte tercümesi. Üç cilt. University Press, Cambridge, 1908. İkinci Baskısı: University Press, Cambridge, 1925. Yenibasım: Dover Publ., New York, 1956. Yeniden gözden geçirildi: 10 (1928),60-62.
Heiberg, J. L. (Johan Ludwig) (1854-1928)
Euclid’in omnia operası. 8 cilt. ve ilaveler. 1883-1916. Hazırlayan J. L. Heiberg ve H. Menge.
Kayas, G. J. Elemanlar(Fransızca). CNRS, 1978.
Knorr, Wilbur Richard Euclid’in Elemanlarının Gelişimi. cilt 15. Reidel, Dordrecht-Boston, 1975.
Morrow, Glenn R. Proclus: Euclid’in Elamanlarının ilk kitabının yorumu. Çeviren G. R. Morrow. Princeton Univ Press, Princeton, 1970.
Mueller, Ian. Matematik felsefesi ve Philosophy of mathematics ve tümdengelim yapısı . MIT Press, Cambridge, Mass., 1981.
Schmidt, Robert. Euclid’in eğilimleri , commonly genelde bilgileri adı verilir. Golden Hind Press, 1988.
Taisbak, C. M. Renkli dörtgenler. Euclid’in elemanlarının 10 kitabının rehperi. Opuscula Graecolatina, 24. Museum Tusculanum Press, Copenhagen, 1982.
Thomas-Stanford, Charles Euclid’in elemanlarının ilk baskıları. Bibliographical Society, London, 1926. Yeniden gözden geçirildi: 10 (1928), 59-60.
Thomson, William. Pappus’ Euclid’in Elamanları’nın yorumu. Cambridge, 1930. Review: Isis 16 (1931), 132-136.
Euclid Yunan Matematiğininin standartlaşmasına yardım etmiştir. Euclid’in ele aldığı konular şunlardır: geçişme özelliği, Psagor teoremi, cebirsel özdeşlikler, çemberler, tanjantlar, düzlem geometri, orantı teorisi, asal sayılar, mükammel sayılar, pozitif sayıların özellikleri, irasyonel sayıla, üç boyutlu şekiller, sınırlı ve çembersel bölgeler, LCD, GCM ve temel katıların yapımı. Özellikle dikkate alınması gereken konular tahmin(yaklaşma) metodudur. Bu metod Archimedes tarafından integral hesabının bulunmasında kullanılmıştır ve yine bütün asal sayılar kümesinin sonsuz olduğunun ispatında kullanılmıştır.Elemanlar kitabı Latin ve Arab dillerine çevrilmiştir, uzun süreli bir eser olmuştur. Bu peryotta Euclid dünyanın gelmiş geçmiş en büyük metametikçilerinden biri olarak kabul edildi. Kitapları 1903 yılına kadar okullarda kullanıldı. Euclid bölme, fenomena, optik, konikler ve prizmalar hakkında önemli bilgiler içeren kitaplar yazmıştır. Euclid matematiği standartlaştıran ya da standartlaştırmaya çalışan ilk kişi olmuştur. Çalışmaları da gelecek nesil için bir rehber olmuştur.
Euclid’in elemanlarını yoğun ve ciddi bir bir şekilde inceleyen ve devrinin en tanınan matematikçisi olan Clavius(1532-1562), hayatını Euclid’in oran ve orantıyla ilgili bulduğu özellikleri geliştirmeye adamıştır. Clavius bunu sadece rasyonel sayılara uygulayan Euclid’in özelliğini geliştirmiş ve bunu irrasyonel sayılara da uygulamıştır. Ayrıca Euclid’in ispatını yapamadığı bu özelliği de ispatlamıştır. Bunlarla beraber oran ve orantı konusunda Euclid’in çeşitli açıklamalarını baz alan Clavius bunları geliştirmiş ve yeni teoremler ortaya atmıştır. Euclid’in Elemalatının ilk baskısını 1574’te yapan Clavius büyük başarı sağlamıştır ve ününü iyice arttırmıştır. Daha sonra da 1589, 1591, 1603, 1607 de Opera of Matematica’yı yayımlamıştır.
1.084 views
vavvvvvvaaaa bunu cccoooooooooook begenddiiim hosuma giiitttiii